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Mathematik » Stochastik und Statistik » Existenz von Zufallsvariablen
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Universität/Hochschule J Existenz von Zufallsvariablen
kolim
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  Themenstart: 2022-10-04

Zu jeder reelwertigen Zufallsvariable X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,𝔄,\(\mathbb{P}\)) existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω',𝔄',\(\mathbb{P}'\)) und eine reelwertige Zufallsvariable Y auf diesem, sodass \(\mathbb{P}'y\)=\(\mathbb{P}'-y\) und fy(t) = fx(t)*fx(-t) für alle t€\(\mathbb{R}\), wobei fy die charakteristische Funktion von Y und fx die charakteristische Funktion von X ist. Vorgehen: Schritt 1: Zeige, dass ein (Ω',𝔄',\(\mathbb{P}'\)) und X1, X2 mit \(\mathbb{P}'x1\) = \(\mathbb{P}'x2\) = \(\mathbb{P}'x\) Schritt 2: Folgere Y=X1-X2 hat die Eigenschaften Hat jemand eine Idee, wie man die Zufallsvariablen in Schritt 1 konstruieren soll? Wir haben ein Resultat, dass zu einer Verteilung auch eine Zufallsvariable existiert, aber das ist ja sowieso schon gegeben, denn X existiert ja für die Verteilung von X. Wie ich X1 und X2 konstruieren sollte habe ich leider keine Idee. 2. Folgt dann denke ich so: fy(t) = \(E[e^(it*Y)\) =\(E[e^(it*(X1-X2))\) = E[e^(it*X1)]*E[e^(-it*X2)] = \(E[e^(it*X)]*E[e^(-it*X)]\) Da bei gleicher Verteilung auch die charakteristischen Funktionen gleich sind.


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AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-04

Huhu kolim und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten! Zunächst ist es weitaus einfacher, Deine Posts zu lesen, wenn Du Latex (oder den formeigenen Edit FED) nutzt. Deshalb ist das Folgende unter dem Vorbehalt zu sehen, dass ich das richtig deuten konnte. Du könntest etwa wie folgt vorgehen: Wähle $\Omega`= [0,1]$ mit der Borel'schen Algebra und dazu das Lebesgue-Stieltjes-Maß zur Verteilung $\mathbb{P} \circ X^{-1}$. Die identische Abbildung auf $\Omega`$ wäre dann etwa ein Kandidat für die ZVe $X_1$. Sofern die Verteilungsfunktion $F_X$ in einem Punkte $x_0$ stetig ist, kannst Du $X_2$ etwa so konstruieren, dass Du $X_1$ an dieser Stelle modifizierst (z.B. für $x_0\neq 0$ gleich $0$ zu setzen und falls $x_0=0$ gilt, wählst Du hier einen anderen Wert, etwa $1$). lg, AK


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kolim
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-06

Super Vielen Dank, mit der Idee sollte es klappen. Ja nächstes mal schreibe ich es auf jeden Fall besser!


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kolim hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
kolim hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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