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Universität/Hochschule J Lokale Umkehrbarkeit
Max_804
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  Themenstart: 2022-08-12

Hallo, die Aufgabe lautet: Überprüfen Sie, ob die gegebene Abbildung \phi2 in einer Umgebung des gegebenen Punktes p umkehrbar ist mit differenzierbarer Inversen. Falls ja, dann berechnen Sie die Ableitung D\phi2^(-1)(q) der Umkehrabbildung \phi2^(-1) in q = \phi2(p). a) \phi2(x;y)=((x-y;2y)); p = (1;1) b) \phi2(x;y)=(x^2+y;x^2-y); p = (0;0) Ich weiß leider nicht, wie ich hier vorgehen soll und würde mich um Hilfe freuen.. wie ich umkehre ist klar, aber ich weiß nicht wie ich das überprüfen soll.


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-12

Hallo, die Aufgabe gehört in den Themenkreis Satz von der impliziten Funktion/Satz von der Umkehrabbildung. Das sollte dann demnach bei euch gerade Thema sein oder vor kurzem gewesen sein? Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]


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Kuestenkind
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-08-12

Huhu Max, nutze dazu den Satz der lokalen Umkehrbarkeit, siehe z. B. hier für ein Beispiel. Gruß, Küstenkind [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Max_804
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-13

\quoteon(2022-08-12 15:15 - Diophant in Beitrag No. 1) Hallo, die Aufgabe gehört in den Themenkreis Satz von der impliziten Funktion/Satz von der Umkehrabbildung. Das sollte dann demnach bei euch gerade Thema sein oder vor kurzem gewesen sein? Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant] \quoteoff Wiederhole paar Sachen, und habe hier Schwierigkeiten gehabt.


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PhysikRabe
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-08-13

\quoteon(2022-08-13 16:38 - Max_804 in Beitrag No. 3) Wiederhole paar Sachen, und habe hier Schwierigkeiten gehabt. \quoteoff Ist denn jetzt alles klar? Falls nicht, dann musst du schon genauer beschreiben, womit du Schwierigkeiten hast. Das prinzipielle Vorgehen (nämlich die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix im jeweiligen Punkt $p$ zu überprüfen) sollte klar sein. Grüße, PhysikRabe


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Max_804
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-13

\quoteon(2022-08-13 17:38 - PhysikRabe in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-08-13 16:38 - Max_804 in Beitrag No. 3) Wiederhole paar Sachen, und habe hier Schwierigkeiten gehabt. \quoteoff Ist denn jetzt alles klar? Falls nicht, dann musst du schon genauer beschreiben, womit du Schwierigkeiten hast. Das prinzipielle Vorgehen (nämlich die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix im jeweiligen Punkt $p$ zu überprüfen) sollte klar sein. Grüße, PhysikRabe \quoteoff Jain. Also habe bei a) erstmal die Jacobi-Matrix gebildet: D_\phi2 = (1,-1;0,2). det D_\phi2 = 1*2-0 = 2 Also ist die Matrix invertierbar. Nun bin ich mir nicht ganz sicher - wenn ichs richtig verstanden habe, soll ich den Punkt in die Jacobi-Matrix einsetzen und dann schauen ob sie invertierbar ist, aber ich habe hier ja keine Variablen. Ich weiß jetzt nicht, was meine nächsten Schritte sind.


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PhysikRabe
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-08-13

\quoteon(2022-08-13 18:01 - Max_804 in Beitrag No. 5) Jain. Also habe bei a) erstmal die Jacobi-Matrix gebildet: D_\phi2 = (1,-1;0,2). det D_\phi2 = 1*2-0 = 2 Also ist die Matrix invertierbar. \quoteoff Deine Notation ist ein bisschen schlampig. Die Jacobi-Matrix hängt a priori von einem Punkt ab. Nehmen wir ein allgemeines $p_0 = (x_0,y_0)$, und schreiben $\phi=(\phi_1 , \phi_2)$. Dann ist in diesem Fall $D_{\phi}(p_0) = \left(\begin{array}{cc} \partial_x \phi_1 (p_0) & \partial_y \phi_1 (p_0) \\ \partial_x \phi_2 (p_0) & \partial_y \phi_2 (p_0) \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ \end{array}\right)$. Du hast gezeigt, dass $\det D_{\phi}(p_0) \neq 0$ ist. Das gilt natürlich für alle $p_0$, also insbesondere auch für $p=(1,1)$, weil die Jacobi-Matrix in jedem Punkt die selbe ist ($D_{\phi}(p_0)$ hängt nicht von $p_0$ ab). Grüße, PhysikRabe


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-13

Hallo, man kann die Inverse natürlich auch einfach ausrechnen. Z. B. bei a) \(\phi^{-1}\binom ab=\binom{a+\frac b2}{\frac b2}\) [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


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Max_804
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-13

\quoteon(2022-08-13 18:16 - PhysikRabe in Beitrag No. 6) \quoteon(2022-08-13 18:01 - Max_804 in Beitrag No. 5) Jain. Also habe bei a) erstmal die Jacobi-Matrix gebildet: D_\phi2 = (1,-1;0,2). det D_\phi2 = 1*2-0 = 2 Also ist die Matrix invertierbar. \quoteoff Deine Notation ist ein bisschen schlampig. Die Jacobi-Matrix hängt a priori von einem Punkt ab. Nehmen wir ein allgemeines $p_0 = (x_0,y_0)$, und schreiben $\phi=(\phi_1 , \phi_2)$. Dann ist in diesem Fall $D_{\phi}(p_0) = \left(\begin{array}{cc} \partial_x \phi_1 (p_0) & \partial_y \phi_1 (p_0) \\ \partial_x \phi_2 (p_0) & \partial_y \phi_2 (p_0) \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ \end{array}\right)$. Du hast gezeigt, dass $\det D_{\phi}(p_0) \neq 0$ ist. Das gilt natürlich für alle $p_0$, also insbesondere auch für $p=(1,1)$, weil die Jacobi-Matrix in jedem Punkt die selbe ist ($D_{\phi}(p_0)$ hängt nicht von $p_0$ ab). Grüße, PhysikRabe \quoteoff Okay, danke. An der Notation arbeite ich noch. Jetzt habe ich bewiesen, dass die Abbildung umkehrbar ist, richtig? Als nächstes dann ${\phi}(p) = q$ ausrechnen und $D\phi^{-1}(q)$ ausrechnen und schauen ob $D\phi^{-1} (q) = (D\phi(p))^{-1}$ gilt?


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PhysikRabe
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-08-13

\quoteon(2022-08-13 18:58 - Max_804 in Beitrag No. 8) [...] schauen ob $D\phi^{-1} (q) = (D\phi(p))^{-1}$ gilt? \quoteoff Das ist eine Folgerung aus dem Satz von der Umkehrabbildung, den Diophant dir bereits in Beitrag No. 1 verlinkt hat: \quoteon(2022-08-12 15:15 - Diophant in Beitrag No. 1) [...] Satz von der impliziten Funktion/Satz von der Umkehrabbildung. \quoteoff Grüße, PhysikRabe


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Max_804
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-13

\quoteon(2022-08-13 21:26 - PhysikRabe in Beitrag No. 9) \quoteon(2022-08-13 18:58 - Max_804 in Beitrag No. 8) [...] schauen ob $D\phi^{-1} (q) = (D\phi(p))^{-1}$ gilt? \quoteoff Das ist eine Folgerung aus dem Satz von der Umkehrabbildung, den Diophant dir bereits in Beitrag No. 1 verlinkt hat: \quoteon(2022-08-12 15:15 - Diophant in Beitrag No. 1) [...] Satz von der impliziten Funktion/Satz von der Umkehrabbildung. \quoteoff Grüße, PhysikRabe \quoteoff Danke. Habe die Aufgabe nun gelöst.


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