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Mathematik » Stochastik und Statistik » O-Notation
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Universität/Hochschule O-Notation
jaz1905
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  Themenstart: 2022-08-12

Hallo, leider habe ich Probleme die O Notation zu verstehen. Ich habe mich da schon in Wikipedia reingelesen aber habe dennoch Schwierigkeiten den folgenden Beweis zu verstehen. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53001_Screenshot_2022-08-12_at_12.30.33.png Kann mir vielleicht jemand helfen, zu verstehen, wie letzten 3 Gleichheiten entstehen? Danke.


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michfei
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-12

Hallo jaz1905, hier wurde einfach Taylor-entwickelt. Dabei hat man den Term zweiten oder höheren Grades in den Fehlerterm \(O(n p^2)\) absorbiert. LG


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jaz1905
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-12

Hallo michfei, und gibt es eine Bedeutung, weshalb man genau $np^2$ wählt? Ich habe diese Notation in der Uni leider nicht wirklich kennengelernt und tue mich momentan damit schwer. LG


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dietmar0609
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-12

Um die gewünschte Abschätzung zu erhalten, reicht die Log Reihenentwicklung bis zum quadratischen Term offensichtlich aus. Am Ende setzt er dann p = log(n)/n


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jaz1905
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-12

Achso, verstehe! Ich glaube, das ist mir jetzt etwas klarer geworden. Vielen Dank, Ihnen beiden!


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dietmar0609
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-12

schreib dir die letzten drei Zeilen nochmal im Detail hin und überlege dir, wie das c zustande kommt. Im Übrigen duzen wir uns hier, nach dem Motto: you can say you to me .... LG Dietmar


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jaz1905
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-12

Also ich habe das versucht nochmal nachzurechnen und ich glaube es wird $p = \dfrac{\log n}{n} + \dfrac{c}{n}$ gesetzt. Das war jetzt leider ein Fehler meinerseits. Etwas oben steht, dass $np - \log n \rightarrow c$. Nur ist mein Problem jetzt, dass dadurch noch weitere Terme auftauchen, die hier nicht ausgeführt werden. Werden sie in dem Fehlerterm mitberücksichtigt? Ich komme momentan auf: $-(\log n +c) + \dfrac{\log n + c}{n} + O(\dfrac{(\log n + c)^2}{n})$ Anders kann ich mir auch nicht erklären, wo das $c$ herkommt. $c$ ist eine beliebige, endliche Zahl


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michfei
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-12

\quoteon(2022-08-12 14:54 - jaz1905 in Beitrag No. 6) $c$ ist eine beliebige, endliche Zahl \quoteoff Ich nehme an, du meinst damit, dass \(c\) eine beliebige reelle Zahl ist. Ich denke tatsächlich, dass hier \(p = \frac{\log n + c}{n-1}\) gesetzt wurde. Dann haut es mit dem ersten Summanden hin. Verifiziere nun, ob auch tatsächlich \[\frac{(\log n)^2}{n} \in O \Biggl( \frac{n (\log n + c)^2}{(n -1)^2} \Biggr)\] gilt (vgl dazu den Wikipedia-Artikel zu den Landau-Symbolen). Daraus folgt dann die vorletzte Zeile. LG


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jaz1905
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-13

Hi michfei, vielen Dank! Ich schaue das mir dann noch genauer an :)


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