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| Autor |
  Viereck in flächengleiches Dreieck umwandeln |
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MathePaul
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 19.11.2012
Mitteilungen: 57
 |  Themenstart: 2022-06-26
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Hey zusammen,
ich stehe vor folgender Aufgabe:
"Verwandeln Sie das gegebene Viereck nur mit Zirkel und Lineal und mit möglichst wenigen Schritten in ein flächengleiches Dreieck (mit kurzer Begründung sowie Konstruktionstext)."
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35294_Neues_Bild.jpg
Ich weiß irgendwie gar nicht wie ich anfangen soll, vielleicht hat mir jemand ein Tipp?
Viele Grüße
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-26
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Huhu MathePaul,
verlängere \(AD\) und zeichne eine Parallele zu \(BD\) durch \(C\), der Schnittpunkt sei \(E\). \(ABE\) ist dann dein Dreieck. Wieso?
Gruß,
Küstenkind
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MathePaul
Wenig Aktiv
Dabei seit: 19.11.2012
Mitteilungen: 57
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26
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Ok krass,
vielen Dank!
Der Flächeninhalt vom Teildreieck ABD wird 'einfach übernommen' und letztendlich wurde dann das Teildreieck DBC in ein flächeninhaltsgleiches Teildreieck DBE umgewandelt.
Wieso weiß ich aber (noch) nicht, ich denke das kommt erst in den nächsten Vorlesungen noch, Scherung wahrscheinlich?
Vielen Grüße
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-26
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Ja, richtig. Bestenfalls sollte die Scherung ja schon aus der Schulzeit bekannt sein. Meine Schüler lernen das jedenfalls immer in Klasse 9, wenn wir den Kathetensatz beweisen.
Gruß und eine schönen Sonntag wünscht,
Küstenkind
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10896
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2022-06-26 16:24 - MathePaul in Beitrag No. 2)
Wieso weiß ich aber (noch) nicht...
\quoteoff
da \(E\) auf einer Parallelen zu \(\overline{BD}\) liegt, haben die Dreiecke \(BCD\) und \(BED\) eine gemeinsame Grundseite und die gleiche Höhe.
(Mit dem Begriff "Scherung" liegst du hier natürlich auch goldrichtig.)
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)
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MathePaul
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 19.11.2012
Mitteilungen: 57
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26
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\quoteon(2022-06-26 16:31 - Kuestenkind in Beitrag No. 3)
Ja, richtig. Bestenfalls sollte die Scherung ja schon aus der Schulzeit bekannt sein. Meine Schüler lernen das jedenfalls immer in Klasse 9, wenn wir den Kathetensatz beweisen.
Gruß und eine schönen Sonntag wünscht,
Küstenkind
\quoteoff
Ohje meine Schulzeit liegt schon ziemlich lang zurück 😁 aber tatsächlich kommt es mir bekannt vor..
\quoteon(2022-06-26 16:31 - Diophant in Beitrag No. 4)
Hallo,
\quoteon(2022-06-26 16:24 - MathePaul in Beitrag No. 2)
Wieso weiß ich aber (noch) nicht...
\quoteoff
da \(E\) auf einer Parallelen zu \(\overline{BD}\) liegt, haben die Dreiecke \(BCD\) und \(BED\) eine gemeinsame Grundseite und die gleiche Höhe.
(Mit dem Begriff "Scherung" liegst du hier natürlich auch goldrichtig.)
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\quoteoff
Das hat mir auf jeden Fall nochmal die Augen geöffnet, vielen Dank!
\
A_DBC = 1/2 * abs(DB^-) * h_c
A_DBE = 1/2 * abs(DB^-) * h_e
außerdem h_c = h_e
Viele Grüße und euch auch einen schönen Sonntag
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-26
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Danke! Wenn dein Problem damit geklärt ist, darfst du den Thread gerne abhaken.
Gruß,
Küstenkind
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Wario
Aktiv 
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1324
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-26
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\quoteon(2022-06-26 15:10 - MathePaul im Themenstart)
"Verwandeln Sie das gegebene Viereck nur mit Zirkel und Lineal und mit möglichst wenigen Schritten in ein flächengleiches Dreieck (mit kurzer Begründung sowie Konstruktionstext)."
\quoteoff
Irgendwie so:
$
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\a}{9}
\pgfmathsetmacro{\b}{9}
\pgfmathsetmacro{\c}{6}
\pgfmathsetmacro{\d}{6.5}
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4666,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners},
show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Viereck
\draw[local bounding box=viereck] (0,0) coordinate[label=below:$A$](A)
-- (\a,0) coordinate[label=below:$B$](B)
-- ++(180-80:\b) coordinate[label=right:$C$](C)
-- ++(180+30:\c) coordinate[label=left:$D$](D) --cycle;
\draw[densely dashed] (D) -- (B);
\draw [densely dashed, shorten >=13mm, name path=parallele] (C) -- +($(D)-(B)$);
\draw [densely dashed, shorten >=13mm] (C) -- +($(B)-(D)$)
node[pos=0.5, sloped, fill=white]{$\parallel$};
\draw[densely dashed] (B) -- ($(B)!-25mm!(D)$) node[pos=0.7, sloped, fill=white]{$\parallel$};
\draw[densely dashed, shorten >=0mm, name path=verlaengerung] (D) -- +($(A)!8cm!(D)$);
\path[name intersections={of=verlaengerung and parallele, name=Cs}];
\coordinate[label=right:$C'$] (Cs) at (Cs-1);
\fill[pattern=north east lines] (B) -- (Cs) -- (D);
\draw[densely dashed](B) -- (Cs);
%% Punkte
\foreach \P in {C, Cs} \draw[fill=black!1] (\P) circle (2.5pt);
\end{tikzpicture}
$
Als Scherachse wähle ich die Gerade durch $B,D$. Den Scherwinkel wähle ich so, dass der Bildpunkt der Scherung $C'$ auf der Verlängerung von $|AD|$ liegt.
Dann sind die Dreiecke $DBC$ und $DBC'$ flächengleich (gleiche Grundseite $|BD|$ und gleiche Höhe, das ist der Abstand der Scherachse zu ihrer Konstruktionsparallelen).
Und da mit dem Dreieck $ABD$ nichts geschah, ist das Viereck $ABCD$ mit dem Dreieck $ABC'$ flächengleich.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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MathePaul hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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