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Analysis » Integration » Rücksubstitution trigonometrische Substitution
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Universität/Hochschule Rücksubstitution trigonometrische Substitution
Annekaffeekanne
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  Themenstart: 2022-06-26

Hallo ihr Lieben, ich habe ein Problem: Ich habe noch nicht so ganz verstanden, wie ich bei einer trigonometrischen Substitution am Ende rücksubstituiert. Als Beispiel: \ int(x/sqrt(1+3*x^2),x,) Hier substituiere ich zunächst u=3x: int(((1/3u)/(sqrt(1+u^2))*(1/3)du) Die 1/9 kann ich vor's Integral ziehen. Als nächstes würde ich trigonometrisch substituieren mit \ sqrt(u^2+1)=sec(\theta) mit u=tan(\theta) So bleibt von meinem Integral: \ 1/9*int(tan(\theta)*sec(\theta),\theta) übrig, was ein Standardintegral ist. Am Ende bleibt meines Wissens nach nur 1/9*sec(\theta)+C übrig. Nun muss ich ja noch rücksubstituieren und hier hänge ich fest. Kann jemand helfen?


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Annekaffeekanne
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26

bzw. fällt mir gerade auf, dass \ u= sqrt(3) sein müsste, aber ändert jetzt ja nichts großes am Integral...


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Diophant
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, es muss \(u=\sqrt{3}x\) heißen. Sofern dein Integral nach der Substitution richtig ausgerechnet wurde, (was ich nicht überprüft habe) musst du doch nichts weiter tun, als die Gleichung \(\sqrt{u^2+1}=\sec{\theta}\) anzuwenden und dann \(u\) wieder durch \(x\) zu ersetzen. Was ist dir hier denn genau unklar? Oder geht es um ein bestimmtes Integral? Nachtrag: der Vorfaktor \(1/9\) ist noch nicht richtig. Das ist vermutlich deiner falschen ersten Sustitution geschuldet (also dort, wo du \(u\) durch \(x\) ersetzt). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Annekaffeekanne
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26

Also lande ich, wenn ich rücksubstituiere, als Lösung für mein Ausgangsintegral bei \ sec\theta=sqrt(u^2+1)=sqrt(3x^2+1) ? Ist das wirklich so "simpel"?


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-06-26 13:43 - Annekaffeekanne in Beitrag No. 3) Also lande ich, wenn ich rücksubstituiere, als Lösung für mein Ausgangsintegral bei \ sec\theta=sqrt(u^2+1)=sqrt(3x^2+1) ? Ist das wirklich so "simpel"? \quoteoff Ja. Bis auf den falschen Vorfaktor \(1/9\) (da habe ich eben in Beitrag #1 noch einen kleinen Nachtrag dazu geschrieben). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Annekaffeekanne
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26

super, danke! Was würde ich denn machen müssen, wenn da als Stammfunktion genau das rauskommt, was ich substituiert habe? Wie gehe ich dann vor?


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-26

\quoteon(2022-06-26 13:47 - Annekaffeekanne in Beitrag No. 5) super, danke! Was würde ich denn machen müssen, wenn da als Stammfunktion genau das rauskommt, was ich substituiert habe? Wie gehe ich dann vor? \quoteoff Ich verstehe die Frage nicht. (Eine Gleichung ist eine Gleichung ist eine Gleichung...) Hättest du einmal ein weiteres Beispiel? Gruß, Diophant


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Annekaffeekanne
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26

int((x/sqrt(3-2x-x^2))=int((2sin\theta-1)/(2cos\theta)*2cos\theta) Laut unserer Vorlesung soll das gleich F(x)= -2cos(arcsin((x+1)/2))-arcsin((x+1)/2)+C =-2*(sqrt(3-2x+x^2)/2)-arcsin((x+1)/2) sein...


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Kuestenkind
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-06-26

Huhu, nur als kleine Anmerkung: Bei diesem Integral muss man nun doch wirklich nicht trigonometrisch substituieren. Oder wolltest du das nur als Beispiel bringen? Es ist doch: \(\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1+3x^2}}\, \dd x=\frac{2}{6}\int \frac{6x}{2\sqrt{1+3x^2}}\, \dd x=\frac{1}{3}\int \left(\sqrt{1+3x^2}\right)'\, \dd x\). Gruß, Küstenkind [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


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Annekaffeekanne
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26

das war als Beispiel gedacht:)


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Diophant
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-06-26

\quoteon(2022-06-26 14:02 - Annekaffeekanne in Beitrag No. 7) int((x/sqrt(3-2x-x^2))=int((2sin\theta-1)/(2cos\theta)*2cos\theta) Laut unserer Vorlesung soll das gleich F(x)= -2cos(arcsin((x+1)/2))-arcsin((x+1)/2)+C =-2*(sqrt(3-2x+x^2)/2)-arcsin((x+1)/2) sein... \quoteoff Und was genau ist jetzt deine Frage dazu (ich verstehe es immer noch nicht...)? Gruß, Diophant


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Kuestenkind
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-06-26

Das was du geschrieben hast stimmt nicht, in der Wurzel muss schon noch \(-x^2\) stehen. Siehe dazu auch dort: https://de.wikipedia.org/wiki/Arkussinus_und_Arkuskosinus#Verkettungen_mit_Sinus_und_Kosinus Du kannst das Integral natürlich auch wieder einfach so berechnen: \(\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{3-2x-x^2}} \, \dd x = \int \frac{x+1-1}{\sqrt{3-2x-x^2}} \, \dd x = \int \frac{-2(x+1)}{-2\sqrt{3-2x-x^2}}\, \dd x -\int \frac{1}{\sqrt{4-(x+1)^2}} \, \dd x= -\int \frac{-2x-2}{2\sqrt{3-2x-x^2}}\, \dd x -\int \frac{1}{2\sqrt{1-\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}} \, \dd x \) Davon lässt sich eine Stammfunktion nun sofort hinschreiben, sofern man die Ableitung des Arkussinus kennt. Gruß, Küstenkind [Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
dietmar0609
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-06-26

2 Bemerkungen: 1. Der "Trick" von Küstenkind (Beitrag 8) ist ein Standardtrick, den du in dein Repertoire "Integral lösen durch scharfes Hinsehen" aufnehmen solltest. 2. In der Zeile nach "Hier substituiere ich zunächst u=3x" im Themenstart steht ziemlicher Unsinn, den du für die Nachwelt noch korrigieren solltest. Gruß Dietmar [Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


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