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| Autor |
  Grenzwert mit Riemann-Summe |
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cphysik
Aktiv 
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 56
 |  Themenstart: 2022-01-21
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Hallo,
ich brauche wieder mal eure Hilfe, ich soll folgenden Grenzwert berechnen
$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} + \, \dots \, + \sqrt{2n-1}}{n\sqrt{n}}$.
Als Tipp ist angegeben, dass man die Summe als Riemann Summe interpretieren soll. Aber wie mache ich das konkret?
Wie immer vielen Dank im Voraus!
LG
cphysik
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9112
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-21
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo cphysik,
was es mit dem Tipp auf sich hat, ist mir auch noch nicht so ganz klar. Am einfachsten käme man hier sicherlich zum Ziel, wenn man im Zähler einfach \(\sqrt{n}\) ausklammert.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant]\(\endgroup\)
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Profil
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Squire
Senior 
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 809
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-21
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$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} + \, \dots \, + \sqrt{2n-1}}{n\sqrt{n}}=$
$=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\sqrt{n+k}}{n\sqrt{n}}=$
$=\lim_{n \to \infty} \frac1n \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{1+\frac{k}{n}}$
Grüße Squire
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cphysik
Aktiv 
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 56
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-21
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Hallo Diophant, Hallo Squire,
danke für die Antworten, ich habe mich von diesem Tipp zu sehr verwirren lassen haha.
Lg cphysik
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2375
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-01-21
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Huhu zusammen,
\quoteon(2022-01-21 11:44 - cphysik in Beitrag No. 3)
ich habe mich von diesem Tipp zu sehr verwirren lassen haha.
\quoteoff
das verstehe ich gerade nicht wirklich. Wie hast du es denn nun gelöst und was ist dein Ergebnis? Ohne intensiv darüber nachgedacht zu haben, sehe ich auch gerade nicht, wie es hilft einfach \(\sqrt{n}\) auszuklammern und dann ohne Riemann-Summe weiterzukommen. Also - konkret: Wie geht es einfacher ohne den Tipp?
Gruß,
Küstenkind
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9112
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-21
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
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\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
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\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@Kuestenkind:
\quoteon(2022-01-21 16:31 - Kuestenkind in Beitrag No. 4)
Ohne intensiv darüber nachgedacht zu haben, sehe ich auch gerade nicht, wie es hilft einfach \(\sqrt{n}\) auszuklammern und dann ohne Riemann-Summe weiterzukommen. Also - konkret: Wie geht es einfacher ohne den Tipp?
\quoteoff
Da hast du völlig Recht, das war ein Denkfehler meinerseits. Ich müsste ja dann als nächstes ebenfalls die \(1/n\) vor die Summe ziehen und hätte dann das gleiche dastehen wie Squire: eine Riemannsche Summe eines bestimmten Integrals einer gewissen Funktion...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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cphysik hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
cphysik hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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