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| Autor |
 Anzahl rationaler Zahlen mit beschränktem Zähler und Nenner |
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Nofi
Junior 
Dabei seit: 15.01.2021
Mitteilungen: 7
 |  Themenstart: 2022-01-20
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Wieviele rationale Zahlen kann man durch Division von zwei natürlichen Zahlen kleiner gleich n bilden?
Die Anzahl der formalen Bruchzahlen ist n^2, aber viele dieser Brüche kann man kürzen, so dass an verschiedenen rationalen Zahlen nur q(n) bleiben.
Gegen welchen Grenzwert strebt q(n)/n^2 , wenn n gegen unendlich geht?
Der Grenzwert muss irgendwo zwischen 0,6 und 0,65 liegen.
Kennt jemand dieses Problem und weiß die Antwort?
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cramilu
Aktiv 
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 1492
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-20
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Guten Abend Nofi, nachträglich noch
herzlich willkommen im MP-Forum
und auch noch ein Gutes Neues Jahr 2022! 🤗
Insgesamt wird es sich bei dem Problem
um einen "Zwitter" aus Primzahlhäufigkeit
und Kombinatorik handeln.
Für den Anfang schon einmal ein einschlägiger Link
zum Thema Primzahllücken ...
Wie man eine Grenzwertabschätzung angehen könnte,
erschließt sich mir noch nicht, aber ich werde das
gerne weiter verfolgen! 😉
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Ixx
Aktiv 
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 252
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-20
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Moin,
um erst einmal eine Formel zu erhalten, solltest du rekursiv vorgehen: Stelle dir vor, du hast schon alle Brüche aufgelistet, bei denen Zähler und Nenner jeweils durch $n-1$ beschränkt sind. Welche Brüche (und damit auch: wie viele) erhältst du zusätzlich, wenn du nun als Zähler bzw. als Nenner die Zahl $n$ zulässt?
Wenn du diese Beschreibung hast, kannst du dich auch nach deinem Grenzwert umschauen. Dazu gibt es in der Literatur einige Quellen. Es sollte $\frac{6}{\pi^2}\approx 0{,}6079\dots$ herauskommen.
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7729
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-20
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\quoteon(2022-01-20 21:25 - Ixx in Beitrag No. 2)
Es sollte $\frac{6}{\pi^2}\approx 0{,}6079\dots$ herauskommen.
\quoteoff
Was für ein faszinierendes Ergebnis! 👍
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 1492
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-01-20
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Mit einer "Lösung" \(\frac{6}{\pi^2}\) müsste die Fragestellung
dem Basler Problem artverwandt sein!?
Ggf. handelt es sich um den Kehrwert einer Summe
von Anteilen, und zwar denjenigen von Zahlen mit
jeweils einem (Primzahlen), zwei, drei, usw.
Primfaktoren an allen Zahlen von \(1\) bis \(n\) ...
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2445
 | Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Übrigens, falls man es doof findet, alle Paare aufzuzählen und ca. 40% Ausschuss zu haben, kann man die positiven rationalen mit Zähler, Nenner $\leq n$ auch sehr einfach direkt aufzählen, und man braucht keine kompliziertere Operation als die Addition!:
\sourceon Haskell
enumerate :: Integer -> [(Integer,Integer)]
enumerate max = go 0 1 1 0 where
go a b c d
| e > max || f > max = []
| otherwise = go a b e f ++ [(e,f)] ++ go e f c d
where
e = a+c
f = b+d
\sourceoff
liefert die entsprechenden Paare teilerfremder natürlicher Zahlen, sogar gleich nach Größe sortiert, wenn man sie als Bruch interpretiert.
\sourceon ghci
*Main> enumerate 5
[(1,5),(1,4),(1,3),(2,5),(1,2),(3,5),(2,3),(3,4),(4,5),(1,1),(5,4),(4,3),(3,2),(5,3),(2,1),(5,2),(3,1),(4,1),(5,1)]
\sourceoff
\(\endgroup\)
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Nofi
Junior
Dabei seit: 15.01.2021
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-21
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Das Ergebnis 6/pi^2 ist ja zu schön um wahr zu sein!!
Wo finde ich einen Beweis dafür??
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2445
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-21
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\quoteon(2022-01-21 10:22 - Nofi in Beitrag No. 6)
Das Ergebnis 6/pi^2 ist ja zu schön um wahr zu sein!!
Wo finde ich einen Beweis dafür??
\quoteoff
Das ist z.B. Theorem 332 in G. H. Hardy and E. M. Wright, "An Introduction to the Theory of Numbers". 3rd ed., Oxford Univ. Press, 1954.
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Squire
Senior
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 809
 | Beitrag No.8, eingetragen 2022-01-21
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Siehe hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Teilerfremdheit
unter "Eigenschaften".
Grüße Squire
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3545
| Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-21
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Hallo,
in der englischen Wikipedia findet man hier die Grundidee um die Aussage zu beweisen.
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| | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2375
| Beitrag No.10, eingetragen 2022-02-06
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Huhu,
darüber hat Borcherds auch gestern hier referiert (Minute 35 - 40).
Gruß,
Küstenkind
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