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Mathematik » Topologie » Verständnisproblem zur G-Überdeckung
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Universität/Hochschule J Verständnisproblem zur G-Überdeckung
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  Themenstart: 2021-12-05

Ich habe ein Problem, G-Deckungen zu verstehen. Wenn $G$ eine Gruppe und $Y$ ein topologischer Raum ist, dann kann man eine Aktion $$A:G\times Y\rightarrow Y;\,\,\,(g,y)\mapsto g\cdot y$$ definieren. Wir können dann eine Äquivalenzrelation auf Y $\sim_y$ wie folgt definieren $$ y\sim_y y' \Leftrightarrow \exists g\in G: A(g,y)=y' \Leftrightarrow g\cdot y=y'$$ und so gibt es auch die Menge $$Y/\sim_y:=Y/G=\{[y]|y\in Y\}$$ wobei $$[y]=\{g\cdot y|g\in G\}$$ Nun können wir die Projektion $$p: Y/G; \,\,\,y\mapsto [y]$$,betrachten die stetig ist, da $Y/G$ mit der Quotiententopologie ausgestattet ist. Ist das so weit richtig? Wir haben auch den Begriff der gleichmäßigen Wirkung (even action= auf $Y$ gesehen und eine $G$-überdeckende als die Projektion $p$ definiert, wenn $G$ gleichmäßig auf $Y$ wirkt, d.h. die Wirkung (action) $A$ gerade ist. Dann haben wir aber auch den Begriff der trivialen $G$-Überdeckung auf $Y/G$ gesehen, aber da sehe ich ihn irgendwie nicht. >Die triviale $G$-Bedeckung von $Y/G$ ist das Produkt $$Y/G\times G\rightarrow Y/G$$, wobei G durch (linke) Multiplikation auf den zweiten Faktor wirkt. Das ist unsere Definition. Aber irgendwie sehe ich den Zusammenhang mit der Definition einer $G$-Abdeckung nicht. Da wir dort kein Produkt haben, betrachten wir nur die Projektion. Kann mir jemand helfen? Vielen Dank schon mal.


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \quoteon(2021-12-05 12:10 - Strandkorb im Themenstart) Ist das so weit richtig? \quoteoff Sieht gut aus. \quoteon(2021-12-05 12:10 - Strandkorb im Themenstart) >Die triviale $G$-Bedeckung von $Y/G$ ist das Produkt $$Y/G\times G\rightarrow Y/G$$, wobei G durch (linke) Multiplikation auf den zweiten Faktor wirkt. Das ist unsere Definition. Aber irgendwie sehe ich den Zusammenhang mit der Definition einer $G$-Abdeckung nicht. Da wir dort kein Produkt haben, betrachten wir nur die Projektion. Kann mir jemand helfen? \quoteoff Kannst du bitte die Definitionen mal sauber aufschreiben? Deine Übersetzungen aus dem Englischen sind leider nicht so gut - sie sind quasi unverständlich. Wenn du den entsprechenden Begriff im Deutschen suchst, dann schaue z.B. auf Wikipedia, aber wortwörtlich zu übersetzen ist oft eine schlechte Idee, wenn du dir nicht sicher bist. Von dem, was ich erraten kann, geht es bei dir um Überlagerungsräume. Der Clue ist $Y/G \times G \cong \bigsqcup_{g \in G} Y/G$ und hieraus siehst du wahrscheinlich leichter wieso $$ \bigsqcup_{g \in G} Y/G \to Y/G \times G \to Y/G $$ ein trivialer Überlagerungsraum ist. Hier wirkt $G$ auf den Totalraum derart, dass zwischen den Komponenten gewechselt wird. P.S.: Die Satzzeichen gehören auf die selbe Zeile wie die Mathezeile.\(\endgroup\)


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-05

Hallo Vielen dank für deine Antwort. Sorry ja also ich kanns dir gerne auf englisch aufschreiben, da heisst nämlich die Definition :. A covering $p:Y\rightarrow Y/G$ is called a $G$-covering if it arises in this way from an even action of G on Y. Dabei haben wir folgende Definition einer even action: Let $G$ act on the topological space $Y$. We say that $G$ acts evenly if every point in $>$ has a neighbourhood $V$ such that $$g\cdot V\cap h\cdot V=\emptyset \,\,\,\,\forall g\neq h\in G$$


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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) Da steht "in this way", was hier fehlt. Aber ich habe in Beitrag No. 1 bereits den Clue gegeben, wie man das sehen kann. Wenn $x$ ein Punkt in einem der $Y/G$-Komponenten aus $\bigsqcup_{g \in G} Y/G$ ist, wie könnte man wohl die Umgebung $V$ aus deiner Definition wählen? In der ursprünglichen Fassung: Wenn $(x,g) \in Y/G \times G$, wie könnte man wohl die Umgebung $V \ni (x,g)$ wählen?\(\endgroup\)


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-05

Sorry ich stehe extrem auf dem schlauch. Wieso ist ein $G$-covering eine projektion nur von $Y\rightarrow Y/G$ und ein trivial $G$ covering eine funktion mit einem Kartesischen Produkt als Definitionsbereich? bei mir scheitert es nur schon da.


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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) Sorry, ich habe nicht gesehen, dass es bei euch so steht. Du hast aber "in this way" noch nicht nachgeliefert. Wenn es genau so im Skript steht, dann ist es wohl ein Fehler. Es soll eher aussagen, dass $Y \to Y/G$ ein Beispiel für eine $G$-Überlagerung ist. Eine mögliche richtige Definition findest du z.B. in Tom Diecks Buch, S. 64 (auch wenn ich kein Fan dieses Buches bin). Du solltest aber eher deinen Prof fragen, welche Bedingungen er wirklich haben wollte.\(\endgroup\)


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-05

Hallo Vielen Dank Aber irgendwie hilft mir das noch nicht wirklich weiter. Wieso ich hier so frage, ist weil ich folgende Aufgabe löse: Show that if a $G$-covering has a section, then the covering is a trivial $G$-covering. Dabei wäre die idee zu zeigen dass das G covering isomorph zur trivial $G$-covering ist. Doch da scheitert es, da irgendwie die definitionsbereiche nicht übereinstimmen und ich daher nicht die Definition eines isomorphismus von $G$-coverings anwenden kann. Denn ich dachte mir laut meiner Definition ist ein $G$-covering eine Funktion $$p:Y\rightarrow Y/G$$. Dann habe ich angenommen dass wir eine Linksinverse haben $$s:Y/G\rightarrow Y$$ so dass $p\circ y=id_{Y/G}$. Nun wurde uns der Tipp gegeben die Funktion $$I:Y/G\times G\rightarrow Y\,\,\,([y],g)\mapsto g\cdot s([y])$$ zu betrachten, diese soll angeblich eine isomorphismus zwischen unserem $G$-covering und dem trivial $G$-covering sein. Do da fängt dann das problem mit den Unstimmigkeiten der Definitionsbereiche überein, denn es sollte gelten, dass $I$ den gleichen Definitionsbereich wie $p$ hat, doch das ist nicht so. Ich hoffe du kannst mir weiterhelfen, denn ich verzweifle buchstäblich.


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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-12-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) Ich vermute, du sollst zeigen, dass die Überlagerungen $p:Y \to Y/G$ und $q:Y/G \times G \to Y/G$ isomorph sind, d.h. du sollst zeigen, dass $I$ ein Homöomorphismus ist und dass folgendes Diagramm kommutiert.
$\begin{tikzcd} Y/G \times G \ar[rr, "I"] \ar[rd, "q", swap] & & Y \ar[ld, "p"]\\ & Y/G \end{tikzcd}$
Vermutlich sollst du auch zeigen, dass $I$ die $G$-Eigenschaft der Überlagerungen erhält. Morphismen von $G$-Überlagerungen solltet ihr in der Vorlesung definiert haben - da würde das dann stehen.
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Ah sorry nun ist es klar, habe p und q verwechselt, da ich es genau anders rum gezeichnet habe.


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