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Mathematik » Geometrie » Addition auf elliptischen Kurven
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Universität/Hochschule J Addition auf elliptischen Kurven
Taxi1729
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  Themenstart: 2021-10-17

Hallo, eines vorweg : Ich habe diese Frage in einem anderen Forum gestellt, habe aber keine hilfreiche Antwort darauf bekommen. Es geht um die Addition auf elliptischen Kurven. Das Additionstheorem besagt ja, dass die Summe von drei Punkten, die auf einer Geraden liegen, gleich Null ist. Kann jemand mal über meine Rechnung gehen und mir sagen, wo mein Denkfehler ist? Ich untersuche beispielhaft die elliptische Kurve $E:y^2=x^3-x+1$. Oder explizit $y=\pm\sqrt{x^3-x+1}$ Es seien zwei Punkte auf der Kurve gegeben : $(x_1,y_1)=(-1.2,0.68702)$ $(x_2,y_2)=(-0.15,1.07081)$ Dann ist die Gerade $mx+d$, die durch die beiden Punkte geht, gegeben durch : $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=0.3655$ $d=\frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2-x_1}=1.12563$ Um den dritten Schnittpunkt zu bestimmen setze ich $\sqrt{x^3-x+1}=mx+d$ Auflösen nach $x$ liefert $x\in\{-1.2,-0.15,1.4836\}$ Gesucht ist jetzt die dritte Schnittstelle $x\notin\{-1.2,-0.15\}$ Der dritte Schnittpunkt liegt demnach in $(1.4836,1.6679)$. Gespiegelt an der X-Achse ist das $(x_3,y_3)=(1.4836,-1.6679)$ Jetzt habe ich zwei Fragen : 1. Sollte $x_3$ nicht $-x_1-x_2$ sein? 2. Laut Wikipedia ist $x_3=m^2-x_1-x_2$ $y_3=-y_1+m(x_1-x_3)$ Das ist viel einfacher als das Lösen einer Gleichung dritten Grades. Warum kann ich $(x_3,y_3)$ auf diese Weise berechnen? Gruß Taxi1729


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Kuestenkind
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-17

Huhu Taxi1729, \quoteon(2021-10-17 11:36 - Taxi1729 im Themenstart) 1. Sollte $x_3$ nicht $-x_1-x_2$ sein? \quoteoff https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2021-10-17_um_12.15.09.png \quoteon(2021-10-17 11:36 - Taxi1729 im Themenstart) 2. Laut Wikipedia ist $x_3=m^2-x_1-x_2$ $y_3=-y_1+m(x_1-x_3)$ Das ist viel einfacher als das Lösen einer Gleichung dritten Grades. Warum kann ich $(x_3,y_3)$ auf diese Weise berechnen? \quoteoff Es wurde allgemein eine kubische Gleichung gelöst und hat eben diese Ergebnisse erhalten. Vergleichbar wäre die Frage: Wieso kann ich die Lösung der quadratischen Gleichung \(x^2+px+q=0\) mit \(x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\) einfach bestimmen? Das ist ja viel einfacher als immer eine quadratische Ergänzung zu machen... Siehe für die Herleitung z. B. Silverman: Rational Points on Elliptic Curves, Seite 25f. Gruß, Küstenkind


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-10-17

Hallo Taxi1729, \quoteon(2021-10-17 11:36 - Taxi1729 im Themenstart) Jetzt habe ich zwei Fragen : 1. Sollte $x_3$ nicht $-x_1-x_2$ sein? 2. Laut Wikipedia ist $x_3=m^2-x_1-x_2$ $y_3=-y_1+m(x_1-x_3)$ Das ist viel einfacher als das Lösen einer Gleichung dritten Grades. Warum kann ich $(x_3,y_3)$ auf diese Weise berechnen? \quoteoff 1. Wieso sollte das gelten?? 2. Bei einer Gleichung dritten Grades bekommst du die dritte Lösung ebenfalls quasi geschenkt, wenn du bereits zwei Lösungen kennst. Stichwort: Polynomdivision. Ähnlich verhält es sich, wenn du eine elliptische Kurve mit einer Geraden schneidest.


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Taxi1729
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-18

1. Im Freitag/Busam (Funktionentheorie 1) steht : "4.3 Theorem. Drei paarweise verschiedene Punkte $a$,$b$,$c$ auf der elliptischen Kurve $\tilde X(g_2,g_3)$ haben genau dann die Summe Null, wenn sie auf einer Geraden liegen." So bin ich auf die Idee gekommen, dass $x_1+x_2+x_3=0$ sein müsste. \quoteon(2021-10-17 12:53 - Kuestenkind in Beitrag No. 1) Es wurde allgemein eine kubische Gleichung gelöst und hat eben diese Ergebnisse erhalten. \quoteoff 2. Ja schon, aber welche kubische Gleichung wurde gelöst? Wenn ich $\sqrt{x^3+ax+b}=mx+d$ betrachte kommen darin $a$ und $b$ vor. Hingegen kommen diese in $x_3=m^2-x_1-x_2$ und $y_3=-y1+m(x_1-x_3)$ nicht mehr vor.


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DerEinfaeltige
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-18

Wieso sollten a und b in der Geraden nicht vorkommen? Steigung und Achsenabschnitt hängen von Punkten der Kurve, also von a und b ab.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-18

\quoteon(2021-10-18 09:37 - Taxi1729 in Beitrag No. 3) 1. Im Freitag/Busam (Funktionentheorie 1) steht : "4.3 Theorem. Drei paarweise verschiedene Punkte $a$,$b$,$c$ auf der elliptischen Kurve $\tilde X(g_2,g_3)$ haben genau dann die Summe Null, wenn sie auf einer Geraden liegen." So bin ich auf die Idee gekommen, dass $x_1+x_2+x_3=0$ sein müsste. \quoteon(2021-10-17 12:53 - Kuestenkind in Beitrag No. 1) Es wurde allgemein eine kubische Gleichung gelöst und hat eben diese Ergebnisse erhalten. \quoteoff 2. Ja schon, aber welche kubische Gleichung wurde gelöst? Wenn ich $\sqrt{x^3+ax+b}=mx+d$ betrachte kommen darin $a$ und $b$ vor. Hingegen kommen diese in $x_3=m^2-x_1-x_2$ und $y_3=-y1+m(x_1-x_3)$ nicht mehr vor. \quoteoff 1. Soso ... wenn \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\) und \((x_3,y_3)\) auf einer Gerade liegen, soll also immer $x_1+x_2+x_3=0$ gelten? Das ist eine kühne These 🙃 2. a und b stecken in gewisser Weise schon in \(x_1\) und \(x_2\) drin.


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Kezer
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) \quoteon(2021-10-18 09:37 - Taxi1729 in Beitrag No. 3) 1. Im Freitag/Busam (Funktionentheorie 1) steht : "4.3 Theorem. Drei paarweise verschiedene Punkte $a$,$b$,$c$ auf der elliptischen Kurve $\tilde X(g_2,g_3)$ haben genau dann die Summe Null, wenn sie auf einer Geraden liegen." So bin ich auf die Idee gekommen, dass $x_1+x_2+x_3=0$ sein müsste. \quoteoff Mit Summe ist die Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven gemeint, nicht die Gruppenstruktur im $\R^n$. (Man sagt oft "Summe" dazu, denn die Gruppenstruktur ist kommutativ.) Für andere Leser: Das Resultat ist auf S. 287. (Man sollte genauer zitiert, 4.3 gibt es oft in dem Buch.)\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-18

Wenn man es nachrechnen will: Gerade: \[y = sx + d\] mit \[s = \frac{y_q-y_p}{x_q-x_p};~d = -sx_p + y_p\] Einsetzen in die elliptische Kurve ergibt: \[(sx+d)^2 = x^3 + ax + b\] Bekannte Lösungen dieser kubischen Gleichung sind $x_p,x_q$. Polynomdivision durch $(x-x_p)(x-x_q)$ liefert den Quotienten \[x+x_p+x_q-s^2\] Daraus folgt dann \[x_r = s^2 - x_p - x_q\] Die zugehörige y-Koordinate sollte ab hier kein Problem darstellen. Die Rechnung ist ziemlich einfach und direkt, sofern man darauf verzichtet, jeweils den Nachweis zu führen, dass die Polynomdivision restlos aufgeht. (kann man natürlich machen, wenn's der Wahrheitsfindung dient)


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Taxi1729
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-19

\quoteon(2021-10-18 10:31 - Kezer in Beitrag No. 6) Mit Summe ist die Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven gemeint, nicht die Gruppenstruktur im $\R^n$. \quoteoff Danke. Damit ist ein Missverständnis geklärt. \quoteon(2021-10-18 11:02 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 7) Polynomdivision durch $(x-x_p)(x-x_q)$ liefert den Quotienten \[x+x_p+x_q-s^2\] \quoteoff Das kann ich nicht nachvollziehen.🙁 Wenn ich $x^3-s^2x^2+(a-2sd)x+b-d^2$ durch $(x-x_p)(x-x_q)$ teile, bekomme ich doch $a$ und $b$ nicht weg. Und wenn ich die Gegenprobe mache (d.h. $(x+x_p+x_q-s^2)(x-x_p)(x-x_q)$) und einen Koeffizientenvergleich mit $x^3-s^2x^2+(a-2sd)x+b-d^2$ mache, dann bekomme ich $x^3=x^3$, $-s^2x^2=-s^2x^2$, $(a-2sd)x=(-x_px_q-x_q^2+s^2x_p+s^2x_q-x_p^2)x$ und $b-d^2=x_q^2x_p+x_p^2x_q-s^2x_px_q$ Daraus werde ich nicht schlau.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-19

\quoteon(2021-10-19 10:20 - Taxi1729 in Beitrag No. 8) Das kann ich nicht nachvollziehen.🙁 Wenn ich $x^3-s^2x^2+(a-2sd)x+b-d^2$ durch $(x-x_p)(x-x_q)$ teile, bekomme ich doch $a$ und $b$ nicht weg. \quoteoff Koeffizietenvergelich ist das richtige Stichwort. Es soll ja $x^3-s^2x^2+(a-2sd)x+b-d^2=(x-x_r)(x-x_p)(x-x_q)$ gelten. Führe einen Koeffizientenvergleich bei \(x^2\) durch.


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Taxi1729
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-19

So langsam kommen wir der Sache näher.😃 Der Koeffizientenvergleich führt auf das korrekte $x_r=-x_p-x_q+s^2$. Aber warum reicht es aus, den Koeffizientenvergleich auf $x^2$ zu beschränken? Was ist mit $x_px_q+(x_p+x_q)x_r=a-2sd$ und $-x_px_qx_r=b-d^2$? Ich kann ja mal nach $a$, bzw. $b$ auflösen : $a=\frac{x_p^3+y_q^2-y_p^2-x_q^3}{x_q-x_p}$ $b=\frac{x_px_q^3-x_qx_p^3+x_qy_p^2-x_py_q^2}{x_q-x_p}$ Dann habe ich $a$ und $b$ in Abhängigkeit der Punkte $P$ und $Q$. Das hieße ja, dass die elliptische Kurve vollständig durch $P$ und $Q$ definiert ist. Stimmt das so?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-10-19

\quoteon(2021-10-19 16:20 - Taxi1729 in Beitrag No. 10) 1) Aber warum reicht es aus, den Koeffizientenvergleich auf $x^2$ zu beschränken? 2) Dann habe ich $a$ und $b$ in Abhängigkeit der Punkte $P$ und $Q$. Das hieße ja, dass die elliptische Kurve vollständig durch $P$ und $Q$ definiert ist. \quoteoff 1) Weil schon man daraus \(x_r\) berechnen kann. Mehr kann ich dazu nicht sagen, bzw. ich verstehe die Frage nicht. 2) Ja, zwei Punkte reichen i. d. R. aus. Es gilt ja \(y_p^2=x_p^3+ax_p+b\) und \(y_q^2=x_q^3+ax_q+b\). Das sind dann zwei lineare Gleichungen mit den Unbekannten a und b.


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Taxi1729
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-20

Wenn ich den Koeffizientenvergleich bei $x$, bzw. $1$ durchführe, bringt mich das auf : $x_r=\frac{a-2sd-x_px_q}{x_p+x_q}$ und $x_r=-\frac{b-d^2}{x_px_q}$ Steht das nicht im Widerspruch zu $x_r=-x_p-x_q+s^2$?


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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-10-20

\quoteon(2021-10-20 09:12 - Taxi1729 in Beitrag No. 12) Wenn ich den Koeffizientenvergleich bei $x$, bzw. $1$ durchführe, bringt mich das auf : $x_r=\frac{a-2sd-x_px_q}{x_p+x_q}$ und $x_r=-\frac{b-d^2}{x_px_q}$ Steht das nicht im Widerspruch zu $x_r=-x_p-x_q+s^2$? \quoteoff Das dürfte es nicht. Aber du kannst ja mal ein Beispiel betrachten und die Werte ausrechnen. Nimm also zwei Punkte (am besten mit ganzzahligen Koordinaten), berechne daraus a und b wie in #11 beschrieben und dann die Summe der beiden Punkte mit den unterschiedlichen Formeln.


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Taxi1729
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-20

O Wunder : Ich habe das mal exemplarisch durchgerechnet und tatsächlich ist $x_r=-x_p-x_q+s^2=\frac{a-2sd-x_px_q}{x_p+x_q}=-\frac{b-d^2}{x_px_q}$. Wenn ich mit Deiner Methode (Lösen des LGS $\{y_p^2=x_p^3+ax_p+b,\;y_q^2=x_q^3+ax_q+b\}$) $a$ und $b$ bestimme und $a=\frac{x_p^3+y_q^2-y_p^2-x_q^3}{x_q-x_p}$ und $b=\frac{x_px_q^3-x_qx_p^3+x_qy_p^2-x_py_q^2}{x_q-x_p}$ in obere Gleichung einsetze, bekomme ich für alle Terme $\frac{x_px_q^2+x_qx_p^2-x_p^3-x_q^3+y_q^2-2y_qy_p+y_p^2}{(x_q-x_p)^2}$. Oder kürzer : $-x_p-x_q+s^2$


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Taxi1729
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-21

Ich möchte auf mein ursprüngliches Anliegen zurückkommen. Im Freitag/Busam (Funktionentheorie 1) steht auf S.288 : "Beweis von 4.3. Drei Punkte $[a_0,a_1,a_2]$,$[b_0,b_1,b_2]$ und $[c_0,c_1,c_2]$ liegen genau dann auf einer Geraden, wenn die Vektoren $(a_0,a_1,a_2)$,$(b_0,b_1,b_2)$,$(c_0,c_1,c_2)$ linear abhängig sind$\ldots$" Dazu habe ich zwei Fragen : https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52442_Elliptische_Kurve.jpg 1. Woher kommt die dritte Komponente in $a$, $b$ und $c$? In der Skizze sind die Schnittpunkte der Geraden mit der elliptischen Kurve als $a$, $b$ und $c$ betitelt. Diese haben also nur zwei Komponenten. 2. Bedeutet "Drei Punkte $u$,$v$,$w$ liegen auf einer Geraden" nicht, dass $\exists r:u+r(v-u)=w$? Das ist doch etwas anderes als dass $u$,$v$ und $w$ linear abhängig sind. Im $\mathbb{R}^2$ sind drei Punkte immer linear abhängig, müssen aber nicht unbedingt auf einer Geraden liegen.


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Kezer
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  Beitrag No.16, eingetragen 2021-10-21

Deine Verwirrung kommt daher, dass das homogene Koordinaten auf der projektiven Ebene sind, es geht nicht um die affine Ebene. Siehe S. 287.


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  Beitrag No.17, eingetragen 2021-10-21

\quoteon(2021-10-21 11:18 - Taxi1729 in Beitrag No. 15) 1. Woher kommt die dritte Komponente in $a$, $b$ und $c$? In der Skizze sind die Schnittpunkte der Geraden mit der elliptischen Kurve als $a$, $b$ und $c$ betitelt. Diese haben also nur zwei Komponenten. \quoteoff Vielleicht hilft das hier weiter: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=255656&post_id=1857147 (Beitrag #5)


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Taxi1729
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-22

Homogene Koordinaten kenne ich. Die werden benutzt, um eine Translation in eine Transformations-Matrix einzubinden. Der projektive Raum war mir neu. Jetzt weiß ich, dass $P^nK$ die Menge aller eindimensionalen Untervektorräume von $K^{n+1}$ ist. Haben wir im Fall der elliptischen Kurve eine reell-projektive Ebene? Die Definition einer Geraden auf S.287 geht von $K=\mathbb{C}$ aus. Zur Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven : Die ist hier ausführlicher beschrieben. https://earthlingsoft.net/ssp/studium/arbeitsgruppe/algebraische%20kurven/Christian%20-%20Gruppenstruktur%20auf%20elliptischen%20Kurven.pdf (den Freitag/Busam finde ich - so muss ich sagen - stellenweise arg kompakt) Also ich statte $a$ mit der eins aus, und erhalte : $a=[a_x,a_y,1]$. Das Gleiche mit $b$ und $c$. Und dann?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.19, eingetragen 2021-10-22

\quoteon(2021-10-22 18:17 - Taxi1729 in Beitrag No. 18) Haben wir im Fall der elliptischen Kurve eine reell-projektive Ebene? Die Definition einer Geraden auf S.287 geht von $K=\mathbb{C}$ aus. \quoteoff Hallo Taxi1729, du kannst elliptische Kurven und projektive Ebenen über jedem Körper K betrachten. Eine elliptische Kurve hat die Form \[E=\{(x,y)\in K^2:y^2=x^3+ax+b\}\] für bestimmte \(a,b\in K\), bzw. als Teilmenge der projektiven Ebene: \[E=\{[x,y,z]:(x,y,z)\in K^3\setminus\{(0,0,0)\}\wedge y^2z=x^3+axz^2+bz^3\}\] Insbesondere kann also \(K=\IR\), \(K=\IC\) und \(K=\IQ\) sein. Sehr gerne werden auch endliche Körper betrachtet. Nun zu den Geraden: Eine Gerade in \(K^2\) hat bekanntlich die allgemeine Form \[\{(x,y)\in K^2:ax+by+c=0\}\] wobei \(a,b,c\in K\) und a und b nicht gleichzeitig 0 sind. In der projektiven Ebene hat diese Gerade dann die Form \[\{[x,y,z]:(x,y,z)\in K^3\setminus\{(0,0,0)\}:ax+by+cz=0\}\] Hinzu kommt die Gerade "im Unendlichen": \[\{[x,y,z]:(x,y,z)\in K^3\setminus\{(0,0,0)\}:z=0\}\] Insgesamt können also alle Geraden in der projektiven Ebene durch \[\{[x,y,z]:(x,y,z)\in K^3\setminus\{(0,0,0)\}:ax+by+cz=0\}\] beschrieben werden, wobei a, b und c nicht alle gleichzeitig 0 sind. Nun zu 4.3 aus #15: Die Punkte \(P=[x_P,y_P,z_P]\), \(Q=[x_Q,y_Q,z_Q]\) und \(R=[x_R,y_R,z_R]\) mögen auf einer Gerade liegen. D. h. dass es a, b und c gibt, die nicht gleichzeitig 0 sind, mit \[ax_p+by_P+cz_P=0\] \[ax_Q+by_Q+cz_Q=0\] \[ax_R+by_R+cz_R=0\] Das heißt aber doch, dass die Vektoren \((x_P,x_Q,x_R)\), \((y_P,y_Q,y_R)\) und \((z_P,z_Q,z_R)\) linear abhängig sind. In einer quadratischen Matrix sind aber die Zeilen genau dann linear abhängig, wenn es die Spalten sind. Also sind \((x_P,y_P,z_P)\), \((x_Q,y_Q,z_Q)\) und \((x_R,y_R,z_R)\) linear abhängig. Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich und die andere Richtung bekommst du jetzt selbst hin.


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Taxi1729
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23

Danke erstmal für Deine Hilfe. Du musst davon ausgehen, dass ich tatsächlich nichts über projektive Kurven weiß 🙂. Wie muss ich mir $y^2z=x^3+axz^2+bz^3$ geometrisch vorstellen? Ich hatte ja nicht gewusst, dass Kurven homogenisiert werden müssen, d.h. dass der Grad der Monome gleich gemacht werden muss, um die Kurve in die projektive Ebene einbetten zu können. Also, zur Rückrichtung : Seien $(x_P,y_P,z_P)$, $(x_Q,y_Q,z_Q)$ und $(x_R,y_R,z_R)$ linear abhängig. Dann gibt es eine Linearkombination mit den Koeffizienten $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)\ne(0,0,0)$, so dass $\lambda_1\cdot\begin{pmatrix} x_P \\ y_P \\ z_P \end{pmatrix}+\lambda_2\cdot\begin{pmatrix} x_Q \\ y_Q \\ z_Q \end{pmatrix}+\lambda_3\cdot\begin{pmatrix} x_R \\ y_R \\ z_R \end{pmatrix}=0$ oder in Matrix-Form : $\begin{pmatrix} x_P & x_Q & x_R \\ y_P & y_Q & y_R \\ z_P & z_Q & z_R\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ Weil die Spalten-Vektoren genau dann linear abhängig sind, wenn es die Zeilen-Vektoren sind, gilt $\exists (a,b,c) \ne(0,0,0) : \begin{pmatrix} x_P & y_P & z_P \\ x_Q & y_Q & z_Q \\ x_R & y_R & z_R\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ oder ausgeschrieben : $ax_P+by_P+cz_P=0$ $ax_Q+by_Q+cz_Q=0$ $ax_R+by_R+cz_R=0$ $\Rightarrow$ $P$, $Q$ und $R$ liegen in der projektiven Ebene auf der Geraden mit der Gleichung $ax+by+cz=0$ Aber wo genau kommt jetzt das $y^2z=x^3+axz^2+bz^3$ ins Spiel? Und wie zeigen wir, dass sich die Punkte zu Null summieren? Kezer hatte ja schon angedeutet, dass das über die Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve geht.


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  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23

Hallo, bzgl. des Aussehens von $y^2z=x^3+axz^2+bz^3$ habe ich hier ein Beispiel gerendert : https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52442_Elliptische_Kurve_in_der_projektiven_Ebene.jpg Nicht so einfach wie $y^2=x^3+ax+b$, aber hübsch. Gruß Taxi1729


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  Beitrag No.22, eingetragen 2021-10-24

\quoteon(2021-10-23 19:43 - Taxi1729 in Beitrag No. 21) bzgl. des Aussehens von $y^2z=x^3+axz^2+bz^3$ habe ich hier ein Beispiel gerendert : Nicht so einfach wie $y^2=x^3+ax+b$, aber hübsch. \quoteoff Sieht aus wie das, was bei mir regelmäßig im Papierkorb landet 😁


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  Beitrag No.23, eingetragen 2021-10-24

\quoteon(2021-10-23 18:50 - Taxi1729 in Beitrag No. 20) Du musst davon ausgehen, dass ich tatsächlich nichts über projektive Kurven weiß 🙂. Wie muss ich mir $y^2z=x^3+axz^2+bz^3$ geometrisch vorstellen? \quoteoff Du solltest erst einmal versuchen, dir die projektive Ebene geometrisch vorzustellen. Das ist die "übliche" Ebene, der man Punkte im Unendlichen hinzufügt. Das ist nicht ganz unähnlich wie die Konstruktion von \(\IQ\) aus \(\IZ\). Gegeben: Die ganzen Zahlen \(\IZ\). Problem: Für \(a,b\in\IZ\) ist die Gleichung \(ax=b\) im Allgemeinen nicht lösbar. Lösung: Statt \(x\in\IZ\) betrachtet man Paare \((x,y)\in\IZ^2\) mit \(y\neq0\). Man nennt dann zwei Paare \((x_1,y_1)\) und \((x_2,y_2)\) äquivalent, wenn es ein \(\lambda\neq0\) gibt, sodass \((x_1,y_1)=(\lambda x_2,\lambda y_2)\). \([x,y]\) sei die Äquivalenzklasse von \((x,y)\) bzgl. dieser Äquivalenz. Sodann wird \(\IQ=\{[x,y]:x,y\in\IZ\wedge y\neq0\}\) definiert. Üblicherweise schreibt man \([x,y]=\frac xy\). Nun muss noch eine Multiplikation auf \(\IQ\) definiert werden. \(\IZ\) lässt sich in \(\IQ\) via \(x\mapsto[x,1]\) einbetten. Fazit: Die Gleichung \(ax=b\) hat nun die Lösung \(x=[b,a]\), wenn \(a\neq0\). Nun die projektive Ebene: Gegeben: Die Ebene \(K^2\). Problem: Zwei Geraden in \(K^2\) haben nicht unbedingt einen Schnittpunkt. Nämlich dann nicht, wenn sie parallel sind; also die Geraden \(ax+by+c_1=0\) und \(ax+by+c_2=0\) mit \((a,b)\neq(0,0)\), wenn \(c_1\neq c_2\) Lösung: Statt \((x,y)\in K^2\) betrachtet man Tripel \((x,y,z)\in K^3\) mit \((x,y,z)\neq(0,0,0)\). Man nennt dann zwei Tripel \((x_1,y_1,z_1)\) und \((x_2,y_2,z_2)\) äquivalent, wenn es ein \(\lambda\neq0\) gibt, sodass \((x_1,y_1,z_1)=(\lambda x_2,\lambda y_2,\lambda z_2)\). \([x,y,z]\) sei die Äquivalenzklasse von \((x,y,z)\) bzgl. dieser Äquivalenz. Sodann wird die projektive Ebene \[P^2=\{[x,y,z]:(x,y,z)\in K^3\setminus\{(0,0,0)\}\}\] definiert. \(K^2\) lässt sich in \(P^2\) via \((x,y)\mapsto[x,y,1]\) einbetten. Umgekehrt findet man ein \([x,y,z]\in P^2\) mit \(z\neq0\) in \(K^2\) als \((\frac xz,\frac yz)\) wieder. \(K^2\) werden also die Punkte \([x,y,0]\) mit \((x,y)\neq(0,0)\) hinzugefügt. Eine Gerade \(g=\{(x,y)\in K^2:ax+by+c=0\}\) in \(K^2\) wird dann zu \(\{[x,y,1]:ax+by+c=0\}=\{[\frac xz,\frac yz,1]:z\neq0\wedge a\frac xz+b\frac yz+c=0\} = \{[x,y,z]:z\neq0\wedge ax+by+cz=0\} \subseteq \{[x,y,z]:(x,y,z)\neq(0,0,0)\wedge ax+by+cz=0\}=g'\) in \(P^2\). \(g'\) hat genau einen Punkt mehr als \(g\), nämlich \([b,-a,0]\). Fazit: Die Geraden \(ax+by+c_1=0\) und \(ax+by+c_2=0\) haben den Schnittpunkt \([b,-a,0]\in P^2\).


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Kezer
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  Beitrag No.24, eingetragen 2021-10-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) \quoteon(2021-10-23 19:43 - Taxi1729 in Beitrag No. 21) Hallo, bzgl. des Aussehens von $y^2z=x^3+axz^2+bz^3$ habe ich hier ein Beispiel gerendert : https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52442_Elliptische_Kurve_in_der_projektiven_Ebene.jpg Nicht so einfach wie $y^2=x^3+ax+b$, aber hübsch. Gruß Taxi1729 \quoteoff So sieht $y^2z=x^3+axz^2+bz^3$ nicht aus. Die Punkte $(x:y:z) \in \mathbb{P}_k^2$ sind in der projektiven Ebene, es geht nicht um Punkte $(x,y,z) \in k^3$. Man stellt es sich so vor: Setze $z = 1$, plotte $y^2 = x^3 + ax + b$, dann erhälst du einen Teil der Kurve (nämlich alles, was nicht auf der Gerade im Unendlichen für $z = 0$ liegt). Das Gleiche kann man für $x = 1$ und $y = 1$ machen. Diese verkleben zur elliptischen Kurve in der projektiven Ebene. Wenn ich mit projektiven Kurven arbeite, dann stelle ich mir meistens bildlich bloß eine Karte vor, also z.B. bloß für $z = 1$. Eine andere Möglichkeit, sich elliptische Kurven über $\mathbb{C}$ vorzustellen, ist als Torus. Denn elliptische Kurven sind projektive glatte Kurven mit Genus 1.\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.25, eingetragen 2021-10-24

Dein Beweis der Rückrichtung sieht gut aus. \quoteon(2021-10-23 18:50 - Taxi1729 in Beitrag No. 20) 3) Wie muss ich mir $y^2z=x^3+axz^2+bz^3$ geometrisch vorstellen? 2) Ich hatte ja nicht gewusst, dass Kurven homogenisiert werden müssen, d.h. dass der Grad der Monome gleich gemacht werden muss, um die Kurve in die projektive Ebene einbetten zu können. ... 1) Aber wo genau kommt jetzt das $y^2z=x^3+axz^2+bz^3$ ins Spiel? \quoteoff 1) Erst mal gar nicht. Geraden und elliptische Kurven sind unterschiedliche Teilmengen der Ebene bzw. der projektiven Ebene, die erst einmal nichts miteinander zu tun haben, die man aber schneiden kann. Für den Beweis von 4.3 spielen sie keine Rolle. 2) Dass die Gleichung homogen wird, ist mehr oder weniger Zufall. Es funktioniert wie bei den Geraden: \(E=\{(x,y)\in K^2:y^2=x^3+ax+b\} = \{[x,y,1]\in P^2:y^2=x^3+ax+b\} = \{[\frac xz,\frac yz,1]\in P^2:z\neq0\wedge (\frac yz)^2=(\frac xz)^3+a\frac xz+b\} = \{[x,y,z]\in P^2:z\neq0\wedge y^2z=x^3+axz^2+bz^3\} \subseteq \{[x,y,z]\in P^2:(x,y,z)\neq0\wedge y^2z=x^3+axz^2+bz^3\}=E'\) E' hat genau einen Punkt mehr als E, nämlich [0,1,0]. (Dieser Punkt wird oft mit \(\cal O\) bezeichnet - es ist das Nullelement der Addition auf der elliptischen Kurve.) 3) Genau so wie \(y^2=x^3+ax+b\), nur dass es zusätzlich eine unendlich ferne Lösung [0,1,0] gibt. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.23 begonnen.]


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Kezer
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  Beitrag No.26, eingetragen 2021-10-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) \quoteon(2021-10-24 11:59 - StrgAltEntf in Beitrag No. 25) Dass die Gleichung homogen wird, ist mehr oder weniger Zufall. \quoteoff Zufall ist es nicht, Nullstellenmengen von nicht-homogenen Gleichungen sind in homogenen Koordinaten nicht wohldefiniert. Entsprechend ist eine abgeschlossene projektive Untervarietät des $\mathbb{P}^n$ als Nullstellenmenge homogener Polynomgleichungen gegeben.\(\endgroup\)


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Taxi1729
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  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25

Den Torus kenne ich : Er entsteht durch Rotation eines verschobenen Kreises auf der XY-Ebene an der Y-Achse, hat also die Darstellung $\begin{pmatrix}\cos(\alpha) & 0 & -\sin(\alpha) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin(\alpha) & 0 & \cos(\alpha)\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}R+r\cos(\beta) \\ r\sin(\beta)\\ 0\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}(R+r\cos(\beta))\cos(\alpha)\\ r\sin(\beta)\\(R+r\cos(\beta))\sin(\alpha)\end{pmatrix}$ Außerdem entsteht der Torus durch Verheftung der Kanten der Grundmasche. Man kann demzufolge "Restklassen" auf dem Torus definieren, oder? Jetzt hat der Torus aber drei Dimensionen. Wenn ich zu einem Punkt $u$ auf dem Torus die komplex-wertige Funktion $\varphi(z)$ betrachte : Wie ist das definiert? Der Freitag/Busam benutzt auf S.288 ja die Schreibweise "$\mathcal{P}(u)$" für einen Punkt $u$ auf dem Torus, wobei $\mathcal{P}$ die Weierstraßsche $\mathcal{P}$-Funktion ist. Was hat das zu bedeuten? Und wie sieht die Darstellung der elliptischen Kurve auf dem Torus aus?


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Taxi1729
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  Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-28

Ja, wie ist denn das jetzt mit dem Torus und den komplexen Zahlen?


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Kezer
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  Beitrag No.29, eingetragen 2021-10-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}\) Sorry, aber deine Beiträge sind nicht so self-contained, sodass es schwierig ist, darauf zu antworten. (Nicht jeder hat das Buch von Freitag, Busam gelesen.) Und ich kenne mich mit elliptischen Kurven leider auch nicht so gut aus. Alles, was ich zu deinem Beitrag sagen kann, ist: Dein Beitrag hat aber einige Probleme: Mit Torus ist nur ein Torus bis auf Homöomorphie gemeint, eine Version eingebettet im $\R^3$ ist oft unhandlich. Hier ist $\CC/L$ für ein Gitter $L$ gemeint. Außerdem ist der Torus 2-dimensional, nicht 3-dimensional. Wie man zwischen dem Torus und der elliptischen Kurve springt, ist sicherlich überall erklärt. Wenn du z.B. paar Seiten zurückblätterst, ist die Korrespondenz bereits auf S. 283. Bzw. geht es im gesamten Kapitel V.A.3 um diese Korrespondenz und um eine Wiederholung projektiver Geometrie. Ich denke, es könnte sinnvoll für dich sein, dass zuerst durchzulesen. Ich hab aber das Gefühl, dass du - mit Verlaub - mathematisch noch nicht bereit für diese Theorie bist, die durchaus sehr anspruchsvoll ist. \quoteon(2021-10-23 18:50 - Taxi1729 in Beitrag No. 20) Du musst davon ausgehen, dass ich tatsächlich nichts über projektive Kurven weiß 🙂. \quoteoff Es ist nicht gut, sowas zu lesen. Wenn du darüber noch nichts weißt, dann solltest du zuerst selber etwas darüber lernen. Vielleicht ist es sinnvoller, erst andere Mathematik zu lernen (z.B. projektive Geometrie), oder eventuell ein Buch zu suchen, das weniger Abstraktion benötigt. Vermutlich würde sich ein Buch zur Kryptografie, welches elliptische Kurven bespricht, besser eignen? Sorry für den Ton, aber ich weiß, dass zumindest ich oft Werke versucht habe, für die ich noch ich ready war, welche mir letztendlich nicht viel gebracht haben.\(\endgroup\)


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moep
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  Beitrag No.30, eingetragen 2021-10-28

Wie Kezer sagt, geht es um die Darstellung der Torus-Oberflaeche als den Quotienten $\mathbb{C} / L$, wobei $L$ ein Gitter in $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2$ ist, mit den Generatoren $1$ und $\tau \in \mathbb{C}$. Mit anderen Worten, jede Aequivalenzklassen $[u] := \{u + m + n\tau \, | \, m,n \in \mathbb{Z} \}$ beschreibt einen Punkt auf dem Torus. Man kann recht einfach sehen, dass die uebliche Addition auf $\mathbb{C}$ eine Addition auf dem Torus, d.h. auf der Menge der Aequivalenzklassen, induziert. Man muss lediglich zeigen, dass fuer beliebige Repraesentanten $\tilde{u} \in [u]$ und $\tilde{v} \in [v]$ die Aequivalenzklasse $[\tilde{u} + \tilde{v}]$ unabhaengig von der Wahl von $\tilde{u}$ und $\tilde{v}$ ist. Die Weierstrass P-Funktion ist eine bijektive Abbildung zwischen $\mathbb{C} / L$ und der elliptischen Kurve $\{y^2 = x^3 + f x +g\} \subset \mathbb{C}^2$, mit $(x,y)$ Koordinaten in $\mathbb{C}^2$, wobei $f$ und $g$ ueber die sogenannte j-Funktion 1-zu-1 mit $\tau$ zusammenhaengt (Details hier sind nicht so wichtig). (Ich habe hier z=1 gesetzt, im Vergleich zu den projektiven Koordinaten, die du verwendet hast. Damit liegt der Punkt (x,y,z) = (1,1,0) in diesen affinen Koordinaten im Unendlichen.) Man kann nun zeigen, dass wenn fuer Aequivalenzklassen mit der obigen Additionsregel $[u] + [v] + [w] = 0$ gilt, dann liegen $P([u])$, $P([v])$ und $P([w])$ auf einer Geraden in $\mathbb{C}^2$.


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Taxi1729
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  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-30

Hallo moep, vielen Dank für Deinen Beitrag. Er ist spannend und inspirierend. \quoteon(2021-10-28 17:13 - moep in Beitrag No. 30) $[u] := \{u + m + n\tau \, | \, m,n \in \mathbb{Z} \}$ beschreibt einen Punkt auf dem Torus. \quoteoff Und ich dachte, ein Punkt auf dem Torus wäre durch $\begin{pmatrix}(R+r\cos(\beta))\cos(\alpha)\\ r\sin(\beta)\\(R+r\cos(\beta))\sin(\alpha)\end{pmatrix}$ gegeben. Dann weiß ich jetzt, dass man einen Torus auch auf die von Dir beschriebene Art bilden kann. \quoteon(2021-10-28 17:13 - moep in Beitrag No. 30) Die Weierstrass P-Funktion ist eine bijektive Abbildung zwischen $\mathbb{C} / L$ und der elliptischen Kurve $\{y^2 = x^3 + f x +g\} \subset \mathbb{C}^2$, mit $(x,y)$ Koordinaten in $\mathbb{C}^2$, wobei $f$ und $g$ ueber die sogenannte j-Funktion 1-zu-1 mit $\tau$ zusammenhaengt \quoteoff Alles, was ich zu dem Zusammenhang zwischen Torus und elliptischen Kurven gefunden habe ist $\mathcal{P}'(z)^2=4\mathcal{P}^3(z)-g_2\mathcal{P}(z)-g_3$ Aber das ist nicht, was Du mit bijektiver Abbildung meinst, oder? \quoteon(2021-10-28 17:13 - moep in Beitrag No. 30) (Ich habe hier z=1 gesetzt, im Vergleich zu den projektiven Koordinaten, die du verwendet hast. Damit liegt der Punkt (x,y,z) = (1,1,0) in diesen affinen Koordinaten im Unendlichen.) \quoteoff Wo kommt auf einmal das $z$ her? Das hattest Du doch vorher nicht erwähnt. \quoteon(2021-10-28 17:13 - moep in Beitrag No. 30) Man kann nun zeigen, dass wenn fuer Aequivalenzklassen mit der obigen Additionsregel $[u] + [v] + [w] = 0$ gilt, dann liegen $P([u])$, $P([v])$ und $P([w])$ auf einer Geraden in $\mathbb{C}^2$. \quoteoff Hast Du ein Rechenbeispiel für mich? Das würde mir sehr helfen. (Natürlich nur, wenn Du ein Computer-Algebra-System hast das die $\mathcal{P}$-Funktion berechnen kann)


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moep
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  Beitrag No.32, eingetragen 2021-11-01

Sorry, hab kein "Rechenbeispiel" parat. \quoteon(2021-10-30 10:54 - Taxi1729 in Beitrag No. 31) Alles, was ich zu dem Zusammenhang zwischen Torus und elliptischen Kurven gefunden habe ist $\mathcal{P}'(z)^2=4\mathcal{P}^3(z)-g_2\mathcal{P}(z)-g_3$ Aber das ist nicht, was Du mit bijektiver Abbildung meinst, oder? \quoteoff Tatsaechlich ist genau diese Differentialgleichung die, die den Hintergrund der bijektiven Abbildung bildet. Aber davor sollte erst mal dieser Kommentar von dir ebenfalls kommentiert werden: \quoteon(2021-10-30 10:54 - Taxi1729 in Beitrag No. 31) Wo kommt auf einmal das $z$ her? Das hattest Du doch vorher nicht erwähnt. \quoteoff Das wurde in vorherigen Posts erwaehnt / eingefuehrt, siehe z.B. Beitrag No. 19. Das ist die zusaetzliche Koordinate zu $x$ und $y$, um projektive Koordinaten zu bekommen. Das hat viele Vorteile, aber von Relevanz hier ist nur die Tatsache, dass du jeden Punkt auf der komplexen projektiven Ebene $\mathbb{P}^2$ mit projektiven Koordinaten $[x:y:z]$ entweder als einen "endlichen" Punkt in $ (x', y') \in \mathbb{C}^2$ sehen kannst (falls $z \neq 0$, in diesem Fall kannst du die projektive Relation benutzen und $[x:y:z]$ auf $[x', y', 1]$ skalieren), oder als den "Punkt im unendlichen" (wenn $z=0$ ist). Von daher habe ich im meinen vorherigen Post einfach $z=1$ gesetzt (im Vergleich zu Beitrag Beitrag No. 19), mit der Konvention dass der "Punkt im unendlichen", "$(x,y) = \infty$", mit beruecksichtigt wird. Um jetzt zur Weierstrass P-Funktion zurueck zu kommen, benutzen wir also am besten ein andere Variable als Argument von ${\cal P}$, z.B. $u$. Die von dir zitierte Differentialgleichung, $\mathcal{P}_\tau'(u)^2=4\mathcal{P}_\tau^3(u)-g_2(\tau) \mathcal{P}_\tau (u)-g_3(\tau)$, enthaelt zudem noch eine Abhaengigkeit von der "komplexen Struktur" $\tau$, die das Gitter $L$ in der Darstellung $\mathbb{C} / L$ fuer einen Torus auftaucht. Aus dieser Gleichung siehst du unmittelbar, dass fuer jeden Punkt $u \in \mathbb{C}$ die Gleichung $y^2 = x^3 + f x + g$ erfuellt ist, wenn du $x = 4^{2/3} {\cal P}(u), y = 2 {\cal P}'(u)$ sowie $f = -4^{1/3} g_2$ und $g = -4 g_3$ setzt. Hieraus wird auch ersichtlich, dass jede elliptische Kurve einen definierenden Parameter $\tau$ hat, der -- durch die obige Abbildung -- sich verstehen laesst als die "Form" des Parallelogramms, welches das Gitter $L$ definiert. Im uebrigen: da ${\cal P}_\tau$ doppel-periodisch ist, ${\cal P}_\tau (u) = {\cal P}_\tau (u + m) = {\cal P}_\tau (u + n\tau)$ fuer $m,n \in \mathbb{Z}$, ist die Abbildung $\mathbb{C} / L \rightarrow \{y^2 = x^3 + fx +g \} \subset \mathbb{C}^2$, wie oben festgehalten, wohldefiniert. Und da ich scheinbar nix bessere mit meiner Zeit anzufangen weiss, hier ein Bild (anstatt eines Rechenbeispiels), was hoffentlich dir eine bessere Vorstellung von dem ganzen gibt. (Achtung, nicht massstabstreu). Ausserdem noch ein GIF zur Veranschaulichung, warum $\mathbb{C} / L$ einen Torus darstellt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/13718_Note_1._Nov_2021.jpg


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Taxi1729
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  Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-04

\quoteon(2021-11-01 17:49 - moep in Beitrag No. 32) Aus dieser Gleichung siehst du unmittelbar, dass fuer jeden Punkt $u \in \mathbb{C}$ die Gleichung $y^2 = x^3 + f x + g$ erfuellt ist, wenn du $x = 4^{2/3} {\cal P}(u), y = 2 {\cal P}'(u)$ sowie $f = -4^{1/3} g_2$ und $g = -4 g_3$ setzt. \quoteoff Ja, das ist einfach. Wie ist das mit dem definierenden Parameter $\tau$? Wie genau spielt der in die elliptische Kurve rein? Die Schreibweise "$\text{mod}\;L$" ist mir unbekannt. Ist folgende Annahme zutreffend? Sei $L=(w_1,w_2),\;w_1,w_2\in\mathbb{C}$ linear unabhängig ein Gitter und $z=\lambda_1w_1+\lambda_2w_2$ Dann ist $z\;\text{mod}\;L=frc(\lambda_1)w_1+frc(\lambda_2)w_2$ mit $frc$ für die Nachkommaanteil-Funktion. Wenn ich Deine Skizze - wo die Gerade die Kurve schneidet - richtig deute, geht es Dir da um die geometrisch definierte Addition auf der Kurve. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52442_Drei_Punkte_auf_einer_Geraden.jpg Ist denn jetzt für $P,Q,R$ auf einer Geraden $(P\bigoplus Q)\bigoplus R=0$? Oder das Nullelement $\cal O$? Ich persönlich tendiere ja zum Nullelement. In Wikipedia steht : "Umgekehrt gibt es zu jeder elliptischen Kurve über $\mathbb{C}$ $y^2=x^3+ax+b$ ein Gitter $\Omega$ mit $a=15G_4(\Omega)$ und $b=35G_6(\Omega)$. (*) (Anmerkung : $G_j(\Omega)$ ist die Eisenstein-Reihe vom Gewicht $j$ zum Gitter $\Omega$) Die elliptische Kurve wird dann parametrisiert durch $(x,y)=(\wp(z),\frac{1}{2}\wp'(z))$ mit $z\in\mathbb{C}/\Omega$. (*) (Anmerkung : Ist das so wegen $(\frac{1}{2}\wp'(z))^2=\wp(z)^3-\frac{g_2}{4}\wp(z)-\frac{g_3}{4}$?) Insbesondere ist jede elliptische Kurve über $\mathbb{C}$ homöomorph zu einem Torus $\mathbb{C}/\Omega$ (*)" Das sind Antworten auf Fragen, die sich mir beim Studium der elliptischen Kurven gestellt haben. Schätzt Ihr die Beweise für (*) als sehr schwierig ein?


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moep
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  Beitrag No.34, eingetragen 2021-11-04

\quoteon(2021-11-04 11:08 - Taxi1729 in Beitrag No. 33) Die Schreibweise "$\text{mod}\;L$" ist mir unbekannt. Ist folgende Annahme zutreffend? Sei $L=(w_1,w_2),\;w_1,w_2\in\mathbb{C}$ linear unabhängig ein Gitter und $z=\lambda_1w_1+\lambda_2w_2$ Dann ist $z\;\text{mod}\;L=frc(\lambda_1)w_1+frc(\lambda_2)w_2$ mit $frc$ für die Nachkommaanteil-Funktion. \quoteoff Wenn dir der Begriff Aequivalenz-Klassen unbekannt sind, kommt diese Beschreibung dem Konzept recht nah. Kannst meinetwegen erst mal damit arbeiten. \quoteon(2021-11-04 11:08 - Taxi1729 in Beitrag No. 33) Ist denn jetzt für $P,Q,R$ auf einer Geraden $(P\bigoplus Q)\bigoplus R=0$? Oder das Nullelement $\cal O$? Ich persönlich tendiere ja zum Nullelement. \quoteoff Ist dir das Konzept "Gruppe" ein Begriff? Fuer jede Gruppe gibt es ein eindeutiges neutrales Element. Die Addition von komplexen Zahlen induziert eine kommutative Gruppenstruktur auf $\mathbb{C} / L$, dem Torus; das neutrale Element hier ist $0 \mod L$, wobei die 0 die komplexe Zahl 0 darstellt. Oftmals wird, um Verwechslung zu vermeiden, ein anderes Symbol fuer die Addition auf elliptischen Kurven benutzt, in Wikipedia z.B. $\bigoplus$. Auch dies bildet eine Gruppe, mit einem neutralen Element, das (wieder, um Verwechslung zu vermeiden) mit ${\cal O}$ bezeichnet wird. Das ist ein spezieller Punkt auf der elliptischen Kurve, naemlich dem Punkt im unendlichen (den wir schon mal hatten in frueheren Posts). Das hat aber nichts mit dem Ursprung des Koordinatensystems, in dem du die Kurve zeichnest, zu tun, was -- wie ich annehme -- du mit "=0" in deiner Gleichung $(P\bigoplus Q)\bigoplus R=0$ meinst! Dieser waere $(x,y)=(0,0)$, und liegt fuer $g \neq 0$ gar nicht auf der elliptischen Kurve. Anders gesagt, die Gleichung $(P\bigoplus Q)\bigoplus R=0$ ergibt mit den oben festgelegten Schreibweisen gar keinen Sinn, denn die $0$ hier ist gar keine Element der Gruppe, in der du die Addition $\bigoplus$ hast. Zu deiner Frage mit $\tau$: Sei die elliptische Kurve durch $y^2 = x^3 + f x + g$ gegeben (beachte hier, dass ich nicht die Notation mit $a$ und $b$ benutze; es waere auch fuer dich hilfreich, wenn du zwischen deinen eigenen Posts nicht immer wieder die Notationen wechselst, nur weil du andere Quellen zitierst; es ist in diesen Faellen recht einfach zu sehen, welche Variablen das gleiche Objekt bezeichnen, und dann kann man sich kurz die Zeit nehmen, fuer die Posts in einer fortlaufenden Diskussion eine einheitliche Wahl fuer diese Bezeichnungen zu waehlen). Offensichtlich hast du hier zwei freie Parameter, $f$ und $g$, die du spezifieren musst, um eine Kurve zu bekommen. Grob gesagt entspricht das Verhaeltnis von $f$ und $g$ dem Parameter $\tau$. Der genaue Zusammenhang erfolgt durch die Klein'sche j-Funktion. Die Punkte, die du "beweisen" moechtest, sind inzwischen Standardresultate der komplexen Geometrie. Ob sie schwierig sind, haengt von deinem Vorwissen auf diesem Gebiete ab. Ich hab auf Grund deines Unwissens zu Aequivalenzklassen etwas Zweifel, andererseits zeugt deine eigene Beschreibung von $\mod$ von gewisser mathematischer Intuition. Am Ende musst du selbst herausfinden, ob die Beweise schwierig sind fuer dich.


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Taxi1729
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  Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-05

Kleines Mißverständnis. Mit \quoteon(2021-11-04 11:08 - Taxi1729 in Beitrag No. 33) Die Schreibweise "$\text{mod}\;L$" ist mir unbekannt. \quoteoff meinte ich lediglich, dass der Modulo mir in dem Kontext von Gittern bis dato noch nicht begegnet war. Äquivalenzklassen und Restklassen kenne ich natürlich. Auch ist mir das Konzept der Gruppe nicht fremd (Das lernt man doch heutzutage in der neunten Klasse😁) \quoteon(2021-11-04 13:59 - moep in Beitrag No. 34) Dieser waere $(x,y)=(0,0)$, und liegt fuer $g \neq 0$ gar nicht auf der elliptischen Kurve. \quoteoff Ja, das habe ich mir auch gedacht. Ich war halt etwas verwirrt, weil im Freitag/Busam steht : "Drei paarweise verschiedene Punkte $a$,$b$,$c$ auf der elliptischen Kurve $\tilde X(g_2,g_3)$ haben genau dann die Summe Null, wenn sie auf einer Geraden liegen." Also ist mit "Null" definitiv das neutrale Element $\cal O$ der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven gemeint. Und wenn ja, dann frage ich mich, warum der Autor das nicht so ausdrückt. \quoteon(2021-11-04 13:59 - moep in Beitrag No. 34) Die Punkte, die du "beweisen" moechtest, sind inzwischen Standardresultate der komplexen Geometrie. \quoteoff Vielleicht ist es geschickter zu sagen "nachvollziehen" anstatt "beweisen". Die $j$-Funktion habe ich mir angeschaut, aber verstehe nicht alles auf Anhieb, was da so in Wikipedia steht. Zum Beispiel : Warum spielen in der Theorie elliptischer Funktionen $60G_4(\tau)$ und $140G_6(\tau)$ eine so große Rolle?


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moep
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  Beitrag No.36, eingetragen 2021-11-05

Okay, wenn deiner Verwirrung letztlich nur von ungeschickter Formulierung in Freitag/Busam herkommt, dann koennen wir ja einen Gang hochschalten :-) Die Funktionen $G_4(\tau)$ und $G_6(\tau)$ sind die Eisensteinreihen, und sind Protoypen von sogenannten Modulare Formen. Diese sind analytische Funktionen, die eine besondere Transformations-Regel folgen, wenn man eine $SL(2,\mathbb{Z})$ Transformation auf $\mathbb{C} \ni \tau$ durchfuehrt (siehe Wikipedia). $\gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL(2,\mathbb{Z})$ wirkt hier auf $\tau$ durch eine Moebius-Transformation, $\tau \mapsto \frac{a \tau + b}{ c \tau + d}$, was das Gitter $L$, dass durch $\tau$ und $1$ aufgespannt wird, invariant laesst. Damit definiert jedes $\gamma \in SL(2, \mathbb{Z})$ eine bi-holomorphe Abbildung $\mathbb{C} / L \rightarrow \mathbb{C} / L$, die alle relevanten Strukturen des Torus erhaelt. Als Physiker wuerde man von einer Symmetrie-Transformation sprechen. Verschiedene modulare Formen beschreiben somit "verschiedene Eigenschaften" auf dem Raum aller elliptischen Kurven, und spielen damit eine entscheidende Rolle um diesen Raum zu verstehen.


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Taxi1729
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  Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-06

\quoteon(2021-11-05 21:09 - moep in Beitrag No. 36) $\gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL(2,\mathbb{Z})$ wirkt hier auf $\tau$ durch eine Moebius-Transformation, $\tau \mapsto \frac{a \tau + b}{ c \tau + d}$, was das Gitter $L$, dass durch $\tau$ und $1$ aufgespannt wird, invariant laesst. \quoteoff Ist folgende Aussage richtig? Damit $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=1$ sein kann, müssen $a,b$ sowie $c,d$ relativ prim sein. Wenn $P=m\tau+n$ ein Punkt auf dem Gitter, dann ist $\gamma(P)=\frac{(ma+nc)\tau+mb+nd}{c\tau+d}$. Insbesondere sind $m=\frac{m'd-n'c}{ad-bc}$ und $n=\frac{n'a-m'b}{ad-bc}$. Dadurch ist eine Bijektion auf dem Gitter gegeben. Was mich hier irritiert ist der Divisor $c\tau+d$. Meine Frage nach den Eisensteinreihen zielt darauf ab, warum ausgerechnet $60G_4(\tau)$ und $140G_6(\tau)$ eine wesentliche Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen spielen und nicht z.B. $17G_4(\tau)$ und $22G_6(\tau)$. Und warum erzeugen $G_4(\tau)$ und $G_6(\tau)$ alle höheren Eisensteinreihen?


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  Beitrag No.38, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-12 11:51

Okay. Zumindest die Frage nach $60$ und $140$ kann ich jetzt beantworten : Also $G_k(\tau)=\sum_{m,n\in\mathbb{Z}\\(m,n)\ne(0,0)}\frac{1}{(m+n\tau)^k}=2\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m^k}+\sum_{m,n\in\mathbb{Z}\\n\ne 0}\frac{1}{(m+n\tau)^k}$ (für $k\ge4$ gerade) Es gilt - weil die zweite Summe beim Grenzübergang verschwindet : $\lim_{\Im(\tau)\rightarrow\infty}G_k(\tau)=2\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^k}=2\zeta(k)$ Ich untersuche jetzt wann der Grenzwert der Diskriminante Null wird : $\lim_{\Im(\tau)\rightarrow\infty}\Delta(\tau)=(a\cdot2\cdot\zeta(4))^3-27(b\cdot2\cdot\zeta(6))^2=0$ Das kleinste Paar von Ganzzahlen, das diese Gleichung erfüllt ist $(60,140)$.


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  Beitrag No.39, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-15 16:58

Wenn keiner mehr etwas ergänzen mag, hake ich den Thread jetzt ab. Mein ursprüngliches Anliegen ist ja mittlerweile beantwortet. Danke an Kuestenkind und DerEinfaeltige. Und insbesondere vielen Dank an StrgAltEnf, Kezer und moep. Ich habe mir den Silverman - "The Arithmetic of Elliptic Curves" zugelegt. Ich hoffe, dass ich da durchblicke. Gruß Taxi1729


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