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  Bilinearform |
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Mathe_Micha
Junior 
Dabei seit: 17.04.2022
Mitteilungen: 14
 |  Themenstart: 2022-06-26
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Hallo,
ich hänge momentan an folgender Teilaufgabe
Es sei V ein endlichdim. K-VR und \beta eine nicht-ausgeartete Bilinearform auf V. Für v,w \el\ V betrachte die Abb.
\phi_v,w :V->V
\phi_v,w(x)=\beta(v,x)*w
Zeige, dass Spur\phi_v,w=\beta(v,w)
Ich vermute, dass ich für \phi_v,w(x) die Darstellungsmatrix aufstellen muss (zur Standartbasis) und das bei deren Spur dann halt \beta(v,w) heraus kommt. Aber ich habe keine Ahnung wie ich die Matrix aufstellen soll, da ich ja nicht weiß wie \beta aussieht.
Wäre echt super wenn mir hier jemand einen Denkanstoß geben könnte. Vielen Dank.
LG
Micha
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3951
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-26
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\quoteon(2022-06-26 13:57 - Mathe_Micha im Themenstart)
Ich vermute, dass ich für \phi_v,w(x) die Darstellungsmatrix aufstellen muss (zur Standartbasis)
\quoteoff
Nein, warum sollte man das tun wollen? Du kannst zum Ausrechnen der Spur eine Basis wählen, in der die Rechnung besonders einfach ist. (Das Wort heißt übrigens Standard.)
Es bietet sich an, $w$ zu einer Basis zu ergänzen (und den Fall $w=0$ separat zu betrachten).
--zippy
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Mathe_Micha
Junior
Dabei seit: 17.04.2022
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26
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Aber wie berechne ich die Spur über die Basis?
Wir haben die Spur als Summe der Diagonaleinträge einer Matrix definiert. Desswegen dachte ich, ich stelle die Darstellungsmatrix auf und nehme dann die Spur davon.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3951
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-26
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\quoteon(2022-06-26 14:54 - Mathe_Micha in Beitrag No. 2)
Desswegen dachte ich, ich stelle die Darstellungsmatrix auf und nehme dann die Spur davon.
\quoteoff
An eine Darstellungsmatrix zu denken, ist auch sinnvoll, aber eben nicht in der Standardbasis.
Und in einer Basis, die $w$ enthält, benötigst du nur ein einziges Element der Darstellungsmatrix. Es lohnt sich also nicht, diese Matrix vollständig hinzuschreiben.
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Mathe_Micha
Junior
Dabei seit: 17.04.2022
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26
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Sry wenn ich immer etwas länger zum Antworten brauche. Ich denke darüber nach.
Sei B=(w,u_1,...,u_(n-1))
Basis von V.
\phi(w)=\beta (v,w)*w
Also wäre die erste Spalte der Darstellungsmatrix doch der Vektor \beta (v,w)*w oder nicht? \beta (v,w) ist ja nur ein Skalar, da \beta nach K abbildet. Aber wie komme ich jetzt an den ersten Eintrag von diesem Vektor? Diesen brauche ich doch für die Spur. Ich weiß über w doch gar nichts, außer dass es in V liegt und nicht Null ist.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3951
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-26
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\quoteon(2022-06-26 15:33 - Mathe_Micha in Beitrag No. 4)
Ich weiß über w doch gar nichts, außer dass es in V liegt und nicht Null ist.
\quoteoff
Du weißt aber, wie $w$ in der Basis $(w,u_1,\ldots,u_{n-1})$ aussieht.
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Mathe_Micha
Junior
Dabei seit: 17.04.2022
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26
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Meinst du einfach als Linearkombi.?
\phi(w)=\beta(v,w)*w+0*u_1+....+0*u_(n-1)
Dann habe ich als ersten Eintrag ja einfach meine BLF.
Aber was mache ich denn dann mit den anderen Einträgen auf der Hauptdiagonalen. Die müssen doch Null sein.
\phi(u_1)=\ 0*w+beta(v,u_1)*u_1+....+0*u_(n-1)
wäre doch dann für den zweiten Vektor.
a_2,2=beta(v,u_1)
Die Spur wäre doch dann \beta(v,w) + sum(\beta(v,u_i),i=1,n-1)
Oder verstehe ich das falsch?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3951
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-26
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\quoteon(2022-06-26 16:04 - Mathe_Micha in Beitrag No. 6)
Aber was mache ich denn dann mit den anderen Einträgen auf der Hauptdiagonalen. Die müssen doch Null sein.
\quoteoff
Das sind sie doch auch: Das Bild von $\varphi_{v,w}$ liegt in dem von $w$ aufgespannten Teilraum. Also verschwindet in der Darstellungmatrix alles bis auf die erste Zeile. Das einzige nicht verschwindende Element auf der Hauptdiagonalen ist daher das $1,1$-Element.
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Mathe_Micha
Junior
Dabei seit: 17.04.2022
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26
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Mathe_Micha hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Mathe_Micha hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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