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Mathematik » Zahlentheorie » Paralleluniversum Collatz [2]: modulobasierte Expansion
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Kein bestimmter Bereich Paralleluniversum Collatz [2]: modulobasierte Expansion
cramilu
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  Themenstart: 2022-05-05

Dieses Thema habe ich abgespaltet von https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=258403&start=0 , weil es mir um einen speziellen Ansatz geht, den haegar90 dankenswert getriggert hat. 😉 Jeder, der Zeit übrig hat, kann gerne mitmachen! Das »Collatz-Problem« war auch mir schon vor 30 Jahren im Informatik-Studium begegnet. Paul Erdős wird dazu oft zitiert, unsere Mathematik sei immer noch nicht reif genug für derartige Problemstellungen, und 1983 warnte Richard Kenneth Guy ausdrücklich: »Don’t try to solve these problems!«. Mir geht es im Folgenden keinesfalls um eine neunmalschlau- dilettantische Beweisidee, sondern lediglich um eine auf spezielle Art verallgemeinerte Betrachtung des Ganzen. Ausdrücklich soll herumprobiert und kaputtgetestet werden! Auf dem Matheplaneten darf man das glücklicherweise. 🤗 Verallgemeinerung: Für \(n\in\mathbb{N}_+\) , \(d\in\mathbb{N}_+(d\geq2)\) , \(a\in[d+1;2d-1]\) , \(b_1=2d-a\) bzw. \(b_2=d-a\) sei \(m_{d;a;b}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{d} & wenn\;\;\;r=n\mod d=0 \\ a\cdot n+b_{1[2]}\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod d\neq0 \end{array}\right.\) und heiße Modulo-based Expanding Syracuse Sequence [MESS] (modulobasiert expandierende Syracuse-Folge)\(\). Die »Collatz-Folge« \(C(n)\) wäre dann konkret \(m_{2;3;1}(n)\) . Warum das? Nun, Collatz selber hatte solche Folgen, mit denen er sich beschäftigt hat, auch schon so aufgebaut, dass er im Hinblick auf ihre Fortsetzung mit Fallunterscheidungen gearbeitet hat, welche sich an Teilungsresten orientierten. Und die spezielle »Collatz-Folge« kommt mit bloß zwei derartiger Fallunterscheidungen aus, wobei die jeweils zweite garantiert, dass nach einem nicht wunschgemäß teilbaren Folgeglied das wiederum folgende wunschgemäß teilbar ist. Das lässt sich stets mit passenden additiven Faktoren für den Modulo-Rest erreichen. Das grundsätzlich naiv abschätzbare Folgenwachstum orientiert sich am Verhältnis \(\frac{a}{d}\) . ›Probebohrungen‹ mit Werten \(\frac{a}{d}\geq2\) hatten bei mir stets rasch divergierende Folgen gezeitigt. Und die sind doof! 🙃 Die obige Tabelle enthält nun für \(2\leq d\leq13\) schon etliche Testkandidaten. Welche davon divergieren [wahrscheinlich] für welche \(n \) über Folgenwerte von \(10^{15[18;21;24;...]}\) hinaus? Welche davon divergieren für \(n\leq100[1000;10000;...]\) [mutmaßlich] nicht? In welche und wieviele periodische Schleifen welcher Länge (»Collatz-Folge«: 4-2-1) mündet die Folgenentwicklung? Welche ›Mündungsanteile‹ haben diese Schleifen für \(n\leq100[1000;10000;...]\)? Und so weiter... Kann man gar einen Wert für \(\frac{a}{d}\) - ggf. um einen korrektiven Teilterm erweitert - angeben, unterhalb dessen nahezu sicher mit ›collatz-ähnlichem‹ Verhalten zu rechnen ist?


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haegar90
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-06

Mit dieser Bildungsvorschrift (Schreibweise bitte noch einmal prüfen ob ich die richtig verstanden habe) ergibt sich anscheinend entweder der immer gleiche Zyklus mit dem Minimum $8$ oder ein möglicherweise endloses Wachstum. Warum eine Startzahl wächst bzw. in einen Zyklus gelangt habe ich noch nicht herausgefunden. (gut wenn jemand die Zahlen noch einmal gegenprüfen könnte) \(m_{5;8;2}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{5} & wenn\;\;\;r=n\mod 5=0 \\ 8\cdot n+2\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 5\neq0 \end{array}\right.\) \showon \sourceon Python n , Text Liste 1 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 2 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 3 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 4 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 6 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 7 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 8 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 9 , divergent [82398968568, 659191748550] 11 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 12 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 13 , divergent [108001976088, 864015808710] 14 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120] 16 , divergent [26367669942, 210941359540] 17 , cycle [200, 8, 70, 14, 120, 24, 200] 18 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 19 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120] 21 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 22 , divergent [172803161742, 1382425293940] 23 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 24 , cycle [200, 8, 70, 14, 120, 24, 200] 26 , divergent [42188271908, 337506175270] 27 , divergent [42188271908, 337506175270] 28 , cycle [200, 8, 70, 14, 120, 24, 200] 29 , divergent [30342033276516, 242736266212130] 31 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 32 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120] 33 , divergent [162897550770984, 1303180406167880] 34 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 36 , divergent [276485058788, 2211880470310] 37 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 38 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 39 , divergent [39769909856196, 318159278849570] 41 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 42 , divergent [67501235054, 540009880440] 43 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120] 44 , divergent [67501235054, 540009880440] 46 , cycle [200, 8, 70, 14, 120, 24, 200] 47 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 48 , divergent [48547253242426, 388378025939410] 49 , divergent [82398968568, 659191748550] 51 , divergent [82398968568, 659191748550] 52 , cycle 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337506175270] 139 , divergent [42188271908, 337506175270] 141 , divergent [42188271908, 337506175270] 142 , divergent [667228367957956, 5337826943663650] 143 , cycle [200, 8, 70, 14, 120, 24, 200] 144 , divergent [22254, 178040] 146 , divergent [676649952904984, 5413199623239880] 147 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 148 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 149 , divergent [30342033276516, 242736266212130] 151 , divergent [1786066034, 14288528280] 152 , divergent [9059862408, 72478899270] 153 , divergent [30342033276516, 242736266212130] 154 , divergent [1149490383966, 9195923071730] 156 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 157 , divergent [1166472985336, 9331783882690] 158 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 159 , divergent [257496776774, 2059974214200] 161 , divergent [3116322, 24930580] 162 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120] 163 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120] 164 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120] 166 , divergent [2181082536, 17448660290] 167 , divergent 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70] 196 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70] 197 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120] 198 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120] 199 , divergent [39769909856196, 318159278849570] \sourceoff \showoff


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gonz
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-06

Scheint soweit zu passen... \showon \sourceon plain old ascii Processing : 1 done by loop(70) Processing : 2 done by loop(70) Processing : 3 done by loop(70) Processing : 4 done by loop(70) Processing : 5 done by loop(70) Processing : 6 done by loop(70) Processing : 7 done by loop(70) Processing : 8 done by loop(70) Processing : 9 Exceeding 100000 Bits Processing : 10 done by loop(70) Processing : 11 done by loop(70) Processing : 12 done by loop(70) Processing : 13 Exceeding 100000 Bits Processing : 14 done by loop(70) Processing : 15 done by loop(70) Processing : 16 Exceeding 100000 Bits Processing : 17 done by loop(70) Processing : 18 done by loop(70) Processing : 19 done by loop(70) Processing : 20 done by loop(70) Processing : 21 done by loop(70) Processing : 22 Exceeding 100000 Bits Processing : 23 done by loop(70) Processing : 24 done by loop(70) Processing : 25 done by loop(70) Processing : 26 Exceeding 100000 Bits Processing : 27 Exceeding 100000 Bits Processing : 28 done by loop(70) Processing : 29 Exceeding 100000 Bits Processing : 30 done by loop(70) Processing : 31 done by loop(70) Processing : 32 done by loop(70) Processing : 33 Exceeding 100000 Bits Processing : 34 done by loop(70) Processing : 35 done by loop(70) Processing : 36 Exceeding 100000 Bits Processing : 37 done by loop(70) Processing : 38 done by loop(70) Processing : 39 Exceeding 100000 Bits Processing : 40 done by loop(70) Processing : 41 done by loop(70) Processing : 42 Exceeding 100000 Bits \sourceoff \showoff


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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-11

Guten Morgen! 😉 Bei mir auch. Zwar scheint der überwiegende Anteil an Startzahlen, und das auch noch jeweils vergleichsweise rasch, in den periodischen Zyklus "70-14-120-24-200-40-8" zu münden (ich habe meine insgesamt über derartige Folgen aufgespürten Zyklen stets so benannt, dass die jeweils kleinste auftretende Zykluszahl am Ende steht - so wie bei "4-2-1" beim »Collatz-Original«). Allerdings scheinen bereits die Startzahlen \(9\), \(13\), \(16\) und \(22\) deutliche "Divergatoren" zu sein! Anders dagegen bei \(m_{5;8;-3}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{5} & wenn\;\;\;r=n\mod 5=0 \\ 8\cdot n-3\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 5\neq0 \end{array}\right.\) Hier habe ich unter den ersten hundert Startzahlen acht verschiedene periodische Zyklen gefunden, und zwar die vier jeweils zweigliedrigen "5-1" (5/100), "10-2" (10/100), "15-3" (4/100) sowie "20-4" (6/100), die beiden jeweils sechzehngliedrigen "255-51-405-81-645-129-1020-204-1620-324-2580-516-4125-825-165-33" (28/100) sowie "245-49-380-76-605-121-965-193-1535-307-2450-490-98-775-155-31" (8/100), und schließlich die beiden jeweils gar 110[!]-gliedrigen "1165-233-1855-371-...-18250-3650-730-146" (38/100) und "1170-234-1860-372-...-18375-3675-735-147" (1/100). In letzteren mündet als erste die Startzahl \(93\). Bis einschließlich \(d=6\) bin ich im Rahmen meiner ersten Modellierungsphase durch, und \(d=7\) beackere ich aktuell noch zu Ende. haegar90, Deine Modulo-Anregung hatte mich auf eine verallgemeinerte Bildungsvorschrift gebracht, die ich für »Collatz« am nahekommendsten halte. Erhofft hatte ich mir danach, im Idealfall eine Art Horizont "Collatz-Wendekreis" durch die Vergleichstabelle im Eröffnungsbeitrag aufspüren zu können. Also eine Linie schräg von links oben nach rechts unten, oberhalb derer die Folgen mutmaßlich nicht divergieren, diejenigen unterhalb aber doch. Selbst eine Art »Collatz-Korridor« wäre schon interessant. Oberhalb: mit deutlichen Hinweisen mutmaßlich nicht-divergent; unterhalb: mit deutlichen Hinweisen mutmaßlich divergent. Dazwischen, also innerhalb: Kaum abschätzbares Herumgeeiere. Ich bin weiter gespannt, wohin uns das Ganze führen wird...


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cramilu
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-11

Meine Ergebnisse bis einschließlich \(d=7\) habe ich inzwischen verschoben, damit mich nicht die 30-Tage-Regel beim Aktualisieren stört... Meine grobe Vorgehensweise: \showon Modellierung mittels EXCEL 2000 und für Startwerte von \(1\) bis \(100\) bzs. \(200\). Als Informatiker rümpfe ich zwar stets die Nase, wenn Tabellenkalkulationen als Datenbanken herhalten sollen, aber für tabellarische Übersichten nutze ich sie gerne. Die Beschränkung auf eine Rechengenauigkeit von höchstens 15 gültigen Ziffern begrenzt allerdings die Möglichkeiten. Zumal steigt die eingebaute Funktion REST() bereits ab Argumenten um \(10^9\) aus. \showoff Aktualisierte Erkenntnisse siehe später...


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haegar90
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-12

\quoteon(2022-05-11 21:47 - cramilu in Beitrag No. 4) Nun zu meinen Ergebnissen bis einschließlich \(d=7\) ... Wer bereits eine ordentlich programmierte Routine am Start hat, welche zuverlässig mit sehr großen Zahlen rechnet, der überprüfe bitte gerne selber - zur Absicherung. Auch die Verteilung der erreichten Zyklen für Startzahlen von \(1\) bis \(1.000.000\) (oder so) könnte aufschlussreich sein! .... Fortsetzung folgt... \quoteoff Ob meine Routine ordentlich programmiert ist, ist fraglich 😄 Lasse diese Woche die Zahlen trotzdem mal laufen..... AddOn: Dass $m_{4;7;-3}$ anscheinenend divergiert, kann ich bestätigen. Tendenziell nimmt die Anzahl divergierender Startzahlen zu je größer die zahlen werden. Bis $n=1000$ gehen noch die meisten Startzahlen in einen Zyklus.


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cramilu
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-21

🙄 Wer sich fragt, weshalb ich derzeit zu anderen Themen weniger Senf gebe als gewohnt, der wundere sich nicht weiter, denn die halbwegs systematische Beschäftigung hiermit ist genau der erwartete Zeitfresser... Bis einschließlich \(d=9\) bin ich im Rahmen meines Modellierungsansatzes durch. Für gerade \(d\) scheint es allerdings eine bestimmte Gruppe vielversprechender Folgen zu geben, denen ich mich noch näher widmen mag, bevor ich die nächsten Einzelerkenntnisse mitteile. Wer zu obigen Bestätigungen oder Widersprüche weiß: Gerne her damit! 😉


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gonz
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-22

Moin :) Es ist irgendwie komisch, dass man ab einem (relativ) geringen Startwert keine (oder... kaum noch...) neue Schleifen findet. An Schleifen, die besonders weit ansteigen, habe ich gefunden: D=8 A=11 B=-3 Schleife (8) max 44738112 D=10 A=13 B=-3 Schleife (12) max 82769000 D=11 A=16 B=-5 Schleife (30) max 101088119 Wenn Interesse besteht könnte ich mal den gesamten Output posten oder per PN zusenden zwecks Abgleich. Abgesucht habe ich bis D=13 und Startwerten bis 200 Mio. Mein Programm "merkt" sich von einer gefundenen Schleife immer nur deren Maximalwert. Einen schönen Sonntag wünscht Gerhard/Gonz


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gonz
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-22

D=4 A=7 B=-3 Schleife (13) 106755520 D=8 A=11 B=5 Schleife (4) 665865792 D=8 A=11 B=5 Schleife (5) 706434112 D=9 A=17 B=1 Schleife (1) 362175300 ( das ist besonders cool weil es die erste Schleife für diesen Fall ist ) ( kann das jemand checken? nicht dass ich irgendwie im falschen Film bin ) D=10 A=13 B=-3 Schleife (13) gefunden 102758800 und hier! D=11 A=16 B=-5 Schleife (31) gefunden 159319853 D=11 A=16 B=-5 Schleife (32) gefunden 163705619 D=11 A=16 B=-5 Schleife (33) gefunden 232809324 D=11 A=16 B=-5 Schleife (34) gefunden 277142514 D=11 A=16 B=-5 Schleife (35) gefunden 309871441 D=11 A=16 B=-5 Schleife (36) gefunden 490556990 D=11 A=16 B=-5 Schleife (37) gefunden 533402364 D=11 A=16 B=-5 Schleife (38) gefunden 637665281


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gonz
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-23

Dann ist hier noch ein wenig Material... \showon > D=11 A=12 B=10 Schleife (4) 1631080 > D=12 A=13 B=11 Schleife (4) 2135232 > D=12 A=13 B=11 Schleife (5) 5773680 > D=7 A=9 B=5 Schleife (4) 8014097 > D=13 A=16 B=10 Schleife (5) 4032678 > D=10 A=13 B=7 Schleife (4) 2756300 > D=13 A=16 B=-3 Schleife (13) 9866389 > D=12 A=17 B=-5 Schleife (13) 2983855680 > D=10 A=13 B=-3 Schleife (11) 9659600 > D=10 A=13 B=-3 Schleife (12) 82769000 > D=10 A=13 B=-3 Schleife (13) 102758800 > D=10 A=13 B=-3 Schleife (14) 1221838100 > D=8 A=11 B=5 Schleife (4) 665865792 > D=8 A=11 B=5 Schleife (5) 706434112 > D=13 A=16 B=-3 Schleife (14) 7101500328 > D=13 A=17 B=9 Schleife (4) 7552779 > D=7 A=9 B=-2 Schleife (9) 4227818 > D=12 A=20 B=4 Schleife (2) 19289952 > D=8 A=11 B=-3 Schleife (8) 44738112 > D=11 A=15 B=-4 Schleife (13) 5773757 > D=13 A=19 B=7 Schleife (4) 1325467 > D=13 A=19 B=7 Schleife (5) 8316152 > D=12 A=23 B=-11 Schleife (18) 2011824 > D=9 A=13 B=-4 Schleife (40) 3164751 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (13) 12330989 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (14) 17893480 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (15) 18234700 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (16) 18331137 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (17) 19295991 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (18) 19979883 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (19) 21656701 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (20) 22434610 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (21) 23472790 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (22) 27143446 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (23) 37377142 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (24) 39654241 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (25) 40401174 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (26) 53283560 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (27) 58435377 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (28) 65634030 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (29) 76453003 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (30) 101088119 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (31) 159319853 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (32) 163705619 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (33) 232809324 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (34) 277142514 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (35) 309871441 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (36) 490556990 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (37) 533402364 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (38) 637665281 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (39) 1051501979 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (40) 1498813811 > D=7 A=10 B=4 Schleife (2) 5643820 > D=11 A=16 B=-5 Schleife (41) 4133275421 > D=10 A=17 B=3 Schleife (2) 1920000 > D=7 A=10 B=4 Schleife (3) 3204436928 > D=13 A=23 B=-10 Schleife (17) 1834495 > D=13 A=23 B=-10 Schleife (18) 2010255 > D=13 A=23 B=-10 Schleife (19) 2757235 > D=13 A=23 B=-10 Schleife (20) 13871520 > D=13 A=23 B=-10 Schleife (21) 14014832 > D=13 A=23 B=-10 Schleife (22) 20314138 > D=13 A=23 B=-10 Schleife (23) 77616968 > D=7 A=10 B=-3 Schleife (8) 70555737 > D=9 A=17 B=1 Schleife (1) 362175300 > D=5 A=7 B=-2 Schleife (8) 7332160925 > D=7 A=13 B=1 Schleife (2) 1496215 > D=7 A=13 B=1 Schleife (3) 2143701 > D=7 A=13 B=1 Schleife (4) 10718064 > D=5 A=8 B=-3 Schleife (7) 1244375 > D=5 A=8 B=-3 Schleife (8) 1522575 > D=4 A=7 B=-3 Schleife (13) 106755520 \showoff Grüße, Gonz


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gonz
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-05-27

So... ein paar kleine Erläuterungen. Ich wollte ein Programm schreiben, das möglichst schnell Zyklen in den von Cramilu definierten Folgen findet. Dazu hatte ich die Idee, das Programm gezielt nach maximalen Elementen suchen zu lassen (das sind einfach jeweils die größten Elemente in einem gegebenen Zyklus). Das hat folgende Vorteile: - man braucht nur Startwerte zu betrachten, die durch D teilbar sind, da das maximale Element einen kleineren Nachfolger haben muss. - man braucht sich nur die Maximalwerte aller bisher schon erkannten Zyklen zu merken, nicht aber alle Elemente des Zyklus. Das spart nicht nur Speicher, sondern auch die Rechenzeit, die ggf. für die ganzen Vergleiche gebraucht würde. Für einen gegebenen Startwert bildet man dann die nächsten Folgenglieder, und ist fertig, wenn: - der neue Wert größer wird als der Startwert (man sucht ja ein Maximum) - der neue Wert dem Maximum eines bereits gefundenen Zyklus entspricht, oder - der neue Wert der Startwert ist, dann hat man einen neuen Zyklus gefunden. Ich hatte das Programm erst so geschrieben, dass mittels C und GMP Library beliebig große Zahlen verwaltet werden könnnen, habe dann aber bemerkt, dass man sowieso nicht weiter kommt, und es auf 64bit Integer umgebaut. Außerdem bildet das Programm nach Start für jeden der Werte D=2..13 einen eigenen Thread, sodaß die Arbeit auf die verfügbaren CPU Kerne verteilt wird (außer... man hat mehr als 12 Kerne installiert). Um den Bereich der Startwerte bis 10^11 abzuklappern (100 Mrd), braucht es auf meinem bescheidenen Rechenknecht (vier Kerne) etwas bei 3 Tagen. Es ist nun für mich wieder die Zeit gekommen, das tumbe Programmieren beiseite zu legen und zu überlegen, was aus den Daten nun eigentlich zu schlussfolgern ist (und abzuwarten, was Uli ausbrütet aktuell). Und hier sind die Ergebnisse als Textdatei: http://www.raptrix.de/EC-III.sort.log Mit besten Grüßen Gerhard/Gonz


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cramilu
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-29

»[...] noch ein wenig Material: [...]« Genau mein Humor! 😂 Um besondere periodische Zyklen wollte ich mich eigentlich erst später kümmern, aber sei's d'rum; gonz, die folgenden vier bestätige ich en detail: \showon d = 4 ; a = 7 ; b = -3 Spätestens mit Startzahl \(6.598\) wird ein periodischer Zyklus erreicht, der \(\underline{262}\) Glieder umfasst: [1] 46.180 ; [2] 11.545 ; [3] 80.812 ; [4] 20.203 ; [5] 141.412 ; ... ; [116] 61.003.156 ; [117] 15.250.789 ; [118] 106.755.520 ; [119] 26.688.880 ; [120] 6.672.220 ; [121] 1.668.055 ; [122] 11.676.376 ; ... ; [259] 422.272 ; [260] 105.568 ; [261] 26.392 ; [262] 6.598 ; [1] 46.180 ... ### d = 5 ; a = 7 ; b = -2 Spätestens mit Startzahl \(7.529\) wird ein periodischer Zyklus erreicht, der \(\underline{634}\)[!] Glieder umfasst: [1] 52.695 ; [2] 10.539 ; [3] 73.765 ; [4] 14.753 ; [5] 103.265 ; ... ; [323] 5.237.257.805 ; [324] 1.047.451.561 ; [325] 7.332.160.925 ; [326] 1.466.432.185 ; [327] 293.286.437 ; [328] 2.053.005.055 ; ... ; [630] 4.705.625 ; [631] 941.125 ; [632] 188.225 ; [633] 37.645 ; [634] 7.529 ; [1] 52.695 ... ### d = 5 ; a = 8 ; b = -3 Als erste führen die Startzahlen \(8\) , \(11\) , \(13\) , \(17\) und \(19\) in einen periodischen Zyklus mit \(\underline{110}\) Gliedern: [1] 1.165 ; [2] 233 ; [3] 1.855 ; [4] 371 ; [5] 2.965 ; ... ... ; [68] 777.740 ; [69] 155.548 ; [70] 1.244.375 ; [71] 248.875 ; [72] 49.775 ; [73] 9.955 ; [74] 1.991 ; [75] 15.925 ; ... ... ; [107] 18.250 ; [108] 3.650 ; [109] 730 ; [110] 146 ; [1] 1.165 Und... die Startzahl \(93\) führt als erste in einen zweiten periodischen Zyklus mit \(\underline{110}\) Gliedern: [1] 1.170 ; [2] 234 ; [3] 1.860 ; [4] 372 ; [5] 2.970 ; ... ... ; [61] 951.615 ; [62] 190.323 ; [63] 1.522.575 ; [64] 304.515 ; [65] 60.903 ; [66] 487.215 ; ... ; [107] 18.375 ; [108] 3.675 ; [109] 735 ; [110] 147 ; [1] 1.170 Letztere beiden hatte ich zuvor bereits referenziert. \showoff


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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-06-01 10:15

Und hier noch ein Diagramm :) https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36025_ec-III.jpg Und noch eins... Das ist interpretationsbedürftig. Ich summiere jeweils für einen D-Wert die gefundenen Zyklen auf, also über alle zugehörigen Folgen der A-Werte D+1..2D-1. Das sind also mehr "Möglichkeiten" für Zyklen, da ich aber nur bis zu einer festen Obergrenze suche, sind es pro A-Wert immer weniger "Kandidaten". Da die Laufzeit des Suchprogramms für jeden D-Wert ungefähr gleich groß ist, macht es jedenfalls mehr Sinn, für D=13 weiterzusuchen, wenn man hinter "noch größeren" Zyklen her ist. Ich muss ja zugeben, dass mein Sportgeist geweckt ist, sozusagen. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36025_ec-III-by-D-II.jpg


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Aktualisierte Ergebnisse siehe ab Beitrag #18 ...


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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-06-12 21:16

Hierzu noch ein Beitrag... ich hab nochmalmal für alle der hier betrachteten Algorithmen den Verlauf der ersten Startwerte angesehen und auf Zyklen untersucht, die wir noch nicht kennen. Dabei ist mir die Folge mit D=13, A=16 und B=-3 aufgefallen mit folgenden Fundstücken. Angegeben ist jeweils das maximale Element des Zyklus. 35103185614036514 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 62 4939739471430907 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 7789 488578524434 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 18767 524693990509238511 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 19455 4751759396683 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 25855 369827653221 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 32991 495141831080 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 35885 467209605889 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 40672 2433636126792 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 54606 457999316632 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 61885 190180386370 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 75277 2245768173844 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 98638 Ich weiß leider noch nicht, wie man das nun genauer einzuordnen hat... Aber vielleicht findet sich ja ein Schema. Grüße und einen schönen Sonntag Abend wünscht Gerhard/Gonz


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gonz
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-06-13 14:25

Und hier ist noch ein Nachtrag. Ich habe mir für D=13, A=16 und B=-3 nun auch die jeweils minimalen Elemente im Zyklus und die Zykluslänge ausgeben lassen. Startzahl ist jeweils die kleinste Zahl, von der aus der Zyklus erreicht wird. Und siehe da: \sourceon Zyklus 13 Min= 85 Max= 9866389 Len= 258 Startzahl= 16 Zyklus 14 Min= 125 Max= 35103185614036514 Len= 2212 Startzahl= 62 Zyklus 15 Min= 69295 Max= 4939739471430907 Len= 874 Startzahl= 7789 Zyklus 16 Min= 86360 Max= 488578524434 Len= 437 Startzahl= 18767 Zyklus 17 Min= 29466 Max= 524693990509238511 Len= 874 Startzahl= 19455 Zyklus 18 Min= 48196 Max= 4751759396683 Len= 437 Startzahl= 25855 Zyklus 19 Min= 75690 Max= 369827653221 Len= 437 Startzahl= 32991 Zyklus 20 Min= 155076 Max= 36197726877 Len= 437 Startzahl= 33693 Zyklus 21 Min= 101336 Max= 495141831080 Len= 437 Startzahl= 35885 Zyklus 22 Min= 93316 Max= 467209605889 Len= 437 Startzahl= 40672 Zyklus 23 Min= 108028 Max= 36376130206 Len= 437 Startzahl= 41167 Zyklus 24 Min= 99875 Max= 52844732525 Len= 437 Startzahl= 49184 Zyklus 25 Min= 225162 Max= 2433636126792 Len= 437 Startzahl= 54606 Zyklus 26 Min= 141991 Max= 457999316632 Len= 437 Startzahl= 61885 Zyklus 27 Min= 75277 Max= 190180386370 Len= 437 Startzahl= 75277 Zyklus 28 Min= 184525 Max= 16411738213 Len= 437 Startzahl= 82414 Zyklus 29 Min= 95405 Max= 48661539407 Len= 437 Startzahl= 95405 Zyklus 30 Min= 98638 Max= 2245768173844 Len= 437 Startzahl= 98638 Zyklus 31 Min= 236787 Max= 7101500328 Len= 437 Startzahl= 122445 \sourceoff Das gehäufte Auftreten der 437 als Zykluslänge wird wohl kaum Zufall sein. Die zweimal auftretende 874 ist das Doppelte davon. Bleiben die Ausreißer mit 258 und 2212 Länge. Ob die auch zu "Serien" gehören, von denen nur eben bisher ein einzelnes Exemplar aufscheint? Oder erratische Werte? Grübelnde Grüße Gerhard/Gonz


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gonz
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-06-14 19:48

Ich habe spasseshalber mal diese 437-Zyklen graphisch dargestellt (y-Achse logarithmisch), sie sehen sich irgendwie gar nicht ähnlich... https://www.facility-2.de/gonz_space/Zyklen.zip


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cramilu
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-15 05:59

Guten Morgen, gonz - großartig! 😮 Kollabiert eine Folge genau wie »Collatz« oder stattdessen mit mehreren Zyklen? Kollabiert sie bloß fast und weist dabei lediglich wenige verstreute "Divergatoren" auf - und wie hängen diese möglicherweise zusammen? Kollabiert sie insgesamt deutlich nicht, für einige spezielle Startzahlen aber doch - und wie hängen jene möglicherweise zusammen? Wieviele Glieder umfassen welche Zyklen? Hängt die Gliederanzahl irgendwie von \(d\) und \(a\) ab? Mit welcher Verteilungshäufung treten die Zyklen auf? Bedingen dabei bestimmte Startzahlen bestimmte Zyklen? Wie stellt sich die "Fieberkurve" eines Zyklus dar? [Das, was Du jüngst veranschaulicht hast.] Gibt es dabei Analogien, und wovon hängen die Verläufe ähnlich scheinender Zyklen möglicherweise ab? Solchen Fragen ist im Hinblick auf mögliche Muster nachzugehen. Leider sehe ich noch immer keine... Aber: Aufgegeben wird nicht! 😎 Primzahlen scheinen eine Rolle zu spielen. Aber welche und wie? 🙄


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cramilu
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-16 01:25

Was lange währt... Der aktuelle Stand meiner Schürferei; für über hundert verschiedene Modulo-Folgen habe ich jeweils die Entwicklungen mindestens der ersten hundert Startzahlen im Rahmen meiner EXCEL-Modellierung durchgeprüft - häufig sogar die der ersten \(250\). Ein grobes Bild zeichnet sich schon ab. Mein masochistischer Aufruf lautet selbstverständlich, diejenigen Folgen kaputtzutesten, welche in der Übersicht in Leuchtgrün hinterlegt sind! Andere Widerlegungen oder Bestätigungen sind unbenommen gleich willkommen. 😎 Was ich zunächst "rausgehauen" hatte, konnte ich selber bislang noch nicht widerlegen: cramilu-Vermutung #1 (siehe auch C.Universum[3]) Seien \(k\in\mathbb{N}_0\) und \(n\in\mathbb{N}_+\) sowie die expandierenden Folgen \(C_{3;k}(n)\) gemäß nachstehender Vorschrift gebildet: \(C_{3;k}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2} & wenn\;\;n\;\;gerade \\ 3n+3^k & wenn\;\;n\;\;ungerade \end{array}\right.\) Dann münden alle diese Folgen jeweils für jede Startzahl \(n\) irgendwann in den dreigliedrigen Zyklus " \(4\cdot3^k\) ; \(2\cdot3^k\) ; \(3^k\) " . Unter jenen ist die »Collatz-Folge« \(C_{3;0}(n)\) ! Beispiel: \showon \(C_{3;6}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2} & wenn\;\;n\;\;gerade \\ 3n+729 & wenn\;\;n\;\;ungerade \end{array}\right.\) kollabiert für jede Startzahl \(n\) irgendwann in den dreigliedrigen Zyklus \(2916;1458;729[;2916;...]\) . \showoff cramilu-Vermutung #2 Seien \(k\in\mathbb{N}_0\) und \(n\in\mathbb{N}_+\) sowie die expandierenden Folgen \(C_{5;k}(n)\) gemäß nachstehender Vorschrift gebildet: \(C_{5;k}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2^k\cdot5} & wenn\;\;\;r=n\mod (2^k\cdot5)=0 \\ 2^k\cdot(6n+4r) & wenn\;\;\;r=n\mod (2^k\cdot5)\neq0 \end{array}\right.\) Dann münden alle diese Folgen jeweils für jede Startzahl \(n\) irgendwann in einen \((9+2k)\)-gliedrigen Zyklus, der jeweils mit \((2^k\cdot5\cdot8)\) beginnt und mit \(4\) endet. Beispiel: \showon \(C_{5;4}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{80} & wenn\;\;\;r=n\mod 80=0 \\ 96n+64r & wenn\;\;\;r=n\mod 80\neq0 \end{array}\right.\) kollabiert für jede Startzahl \(n\) irgendwann in den 17-gliedrigen Zyklus \(640;8;1280;16;2560;32;5120;64;\) \(10240;128;15360;192;20480;256;25600;320;4[;640;...]\) . \showoff cramilu-Vermutung #3 Seien \(k\in\mathbb{N}_0\) und \(n\in\mathbb{N}_+\) sowie die expandierenden Folgen \(C_{4;k}(n)\) gemäß nachstehender Vorschrift gebildet: \(C_{4;k}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{4^{k+1}} & wenn\;\;\;r=n\mod 4^{k+1}=0 \\ 4^k\cdot(6n+2r) & wenn\;\;\;r=n\mod 4^{k+1}\neq0 \end{array}\right.\) Dann münden alle diese Folgen jeweils für jede Startzahl \(n\) irgendwann in einen \((5+4k)\)-gliedrigen Zyklus, der jeweils mit \((4^k\cdot8)\) beginnt und mit \(1\) endet. Dabei ließe sich die »Collatz-Folge« sogar - verschmitzt - als \(C_{4;-\frac{1}{2}}(n)\) schreiben! Beispiel: \showon \(C_{4;3}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{256} & wenn\;\;\;r=n\mod 256=0 \\ 384n+128r & wenn\;\;\;r=n\mod 256\neq0 \end{array}\right.\) kollabiert für jede Startzahl \(n\) irgendwann in den 17-gliedrigen Zyklus \(512;2;1024;4;2048;8;4096;16;\) \(8192;32;16384;64;32768;128;65536;256;1[;512;...]\) . \showoff Inzwischen sehe ich jedoch Möglichkeiten für zwei weitere Behauptungen... 😎


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cramilu
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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-23 18:43

Meine Ergebnisse bis einschließlich \(d=10\) habe ich hierher verschoben, damit mich nicht die 30-Tage-Regel beim Aktualisieren stört... Untenstehende Liste wird nach und nach erweitert... Wer bereits eine ordentlich programmierte Routine am Start hat, welche zuverlässig mit sehr großen Zahlen rechnet, der überprüfe bitte gerne selber - zur Absicherung. Auch die Verteilung der erreichten Zyklen für Startzahlen von \(1\) bis \(1.000.000\) (oder so) könnte aufschlussreich sein! \(d=2\) (»Collatz-Schwester«) \showon \(m_{2;3;-1}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2} & wenn\;\;\;r=n\mod 2=0 \\ 3\cdot n-r & wenn\;\;\;r=n\mod 2\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens drei periodischen Zyklen: [38/100] zweigliedrig " 2 - 1 " [31/100] fünfgliedrig " 14 - 7 - 20 - 10 - 5 " [31/100] achtzehngliedrig "50-25-74-37-110-55-164-82-41-122-61-182-91-272-136-68-34-17" \showoff \(d=3\) \showon \(m_{3;4;2}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{3} & wenn\;\;\;r=n\mod 3=0 \\ 4\cdot n+2\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 3\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens zwei periodischen Zyklen: [36/100] fünfgliedrig " 12 - 4 - 18 - 6 - 2 " [64/100] sechzehngliedrig "60-20-84-28-114-38-156-52-210-70-282-94-378-126-42-14" \(m_{3;4;-1}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{3} & wenn\;\;\;r=n\mod 3=0 \\ 4\cdot n-r & wenn\;\;\;r=n\mod 3\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens drei periodischen Zyklen: [15/100] zweigliedrig " 3 - 1 " [51/100] zweigliedrig " 6 - 2 " [34/100] neungliedrig "87-29-114-38-150-50-198-66-22" \(m_{3;5;1}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{3} & wenn\;\;\;r=n\mod 3=0 \\ 5\cdot n+r & wenn\;\;\;r=n\mod 3\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens zwei periodischen Zyklen: [79/100] fünfgliedrig " 21 - 7 - 36 - 12 - 4 " [21/100] fünfgliedrig " 42 - 14 - 72 - 24 - 8 " Sieben Startzahlen, nämlich \(38\), \(64\), \(68\), \(73\), \(80\), \(91\) und \(98\), benötigen jeweils um die 400 Folgenschritte, bis die "\(42\)-er"-Schleife erreicht wird. \(m_{3;5;-2}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{3} & wenn\;\;\;r=n\mod 3=0 \\ 5\cdot n-2\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 3\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens drei periodischen Zyklen: [49/100] zweigliedrig " 3 - 1 " [50/100] zweigliedrig " 6 - 2 " [1/100] 138[!]-gliedrig "1131-377-1881-...-2043-681-227" »Exoten«: \(m_{3;4;[-1;+1]}(n)=\left\{\begin{array}{3}\frac{n}{3} & wenn\;\;\;r=n\mod 3=0 \\ 4\cdot n-1 & wenn\;\;\;r=n\mod 3=1 \\ 4\cdot n+1 & wenn\;\;\;r=n\mod 3=2 \\ \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit einem einzigen periodischen Zyklus " 3 - 1"! \(m_{3;5;[+1;-1]}(n)=\left\{\begin{array}{3}\frac{n}{3} & wenn\;\;\;r=n\mod 3=0 \\ 5\cdot n+1 & wenn\;\;\;r=n\mod 3=1 \\ 5\cdot n-1 & wenn\;\;\;r=n\mod 3=2 \\ \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens zwei periodischen Zyklen: [86/100] fünfgliedrig " 6 - 2 - 9 - 3 - 1 " [14/100] fünfgliedrig " 21 - 7 - 36 - 12 - 4 " Zwei Startzahlen, nämlich \(86\) und \(100\), benötigen jeweils über 800 Folgenschritte, bis die "\(6\)-er"-Schleife erreicht wird. \showoff \(d=4\) (gonz' Schleifenfund eingearbeitet) \showon \(m_{4;5;3}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{4} & wenn\;\;\;r=n\mod 4=0 \\ 5\cdot n+3\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 4\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens sieben periodischen Zyklen: [38/100],[65/200] fünfgliedrig " 8 - 2 - 16 - 4 - 1 " [27/100],[46/200] siebengliedrig " 24 - 6 - 36 - 9 - 48 - 12 - 3 " [21/100],[41/200] dreizehngliedrig "308-77-388-97-488-122-616-154-776-194-976-244-61" [3/100],[7/200] dreizehngliedrig "604-151-764-191-964-241-1208-302-1516-379-1904-476-119" [0/100],[3/200] dreizehngliedrig "524-131-664-166-836-209-1048-262-1316-329-1648-412-103" [6/100],[21/200] 26-gliedrig "348-87-444-111-564-141-708-177-888-222- ... ... -1116-279-1404-351-1764-441-2208-552-138-696-174-876-219-1104-276-69" [5/100],[17/200] 39-gliedrig "196-49-248- ... -608-152-38" Dabei führt als erste die "\(38\)" in die "\(196\)-er"-Schleife. \(m_{4;5;-2}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{4} & wenn\;\;\;r=n\mod 4=0 \\ 5\cdot n-2\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 4\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens vier periodischen Zyklen: [25/100],[55/200] zweigliedrig " 4 - 1 " [36/100],[56/200] zweigliedrig " 8 - 2 " [6/100],[11/200] zweigliedrig " 12 - 3 " [33/100],[78/200] 27-gliedrig "88-22-108-27-132-33-164-41-204-51-252-63-312-78- ... ... -388-97-484-121-604-151-752-188-47-232-58-288-72-18" Dabei führt als erste die "\(15\)" in die "\(88\)-er"-Schleife. zwei »Collatz-Cousinen« \(m_{4;6;2}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{4} & wenn\;\;\;r=n\mod 4=0 \\ 6\cdot n+2\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 4\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit einem einzigen periodischen Zyklus, nämlich dem fünfgliedrigen " 8 - 2 - 16 - 4 - 1 ". \(m_{4;6;-2}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{4} & wenn\;\;\;r=n\mod 4=0 \\ 6\cdot n-2\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 4\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"); erste "Divergatoren" sind \(5\), \(7\), \(9\), \(10\) und \(11\). \(m_{4;7;1}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{4} & wenn\;\;\;r=n\mod 4=0 \\ 7\cdot n+r & wenn\;\;\;r=n\mod 4\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"); erste "Divergatoren" sind \(17\), \(21\), \(22\) ... Ansonsten tritt bloß ein einziger Zyklus auf, und zwar der fünfgliedrige " 8 - 2 - 16 - 4 - 1 ". \(m_{4;7;-3}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{4} & wenn\;\;\;r=n\mod 4=0 \\ 7\cdot n-3\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 4\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"); erster "Divergator" ist die \(77\) ... Allein für die ersten hundert Startzahlen werden schon zwölf verschiedene Zyklen ausgebildet. gonz hat sogar einen einen mit \(\underline{262}\) Gliedern aufgespürt, welcher spätestens mit Startzahl \(4.123\) erreicht wird: [1] 46.180 ; [2] 11.545 ; [3] 80.812 ; [4] 20.203 ; [5] 141.412 ; ... ; [116] 61.003.156 ; [117] 15.250.789 ; [118] 106.755.520 ; [119] 26.688.880 ; [120] 6.672.220 ; [121] 1.668.055 ; [122] 11.676.376 ; ... ; [259] 422.272 ; [260] 105.568 ; [261] 26.392 ; [262] 6.598 ; [1] 46.180 ... \showoff \(d=5\) (gonz' Schleifenfund eingearbeitet) \showon \(m_{5;6;4}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{5} & wenn\;\;\;r=n\mod 5=0 \\ 6\cdot n+4\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 5\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit einem einzigen periodischen Zyklus, nämlich dem neungliedrigen "40-8-60-12-80-16-100-20-4" \(m_{5;6;-1}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{5} & wenn\;\;\;r=n\mod 5=0 \\ 6\cdot n-r & wenn\;\;\;r=n\mod 5\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens fünf periodischen Zyklen: [33/100] zweigliedrig " 5 - 1 " [32/100] zweigliedrig " 10 - 2 " [23/100] zweigliedrig " 15 - 3 " [7/100] zweigliedrig " 20 - 4 " [5/100] neunzehngliedrig "340-68-405-81-485-97-580- ... ... -116-695-139-830-166-995-199-1190-238-1425-285-57" Dabei führt als erste die "\(48\)" in die "\(340\)-er"-Schleife. \(m_{5;7;3}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{5} & wenn\;\;\;r=n\mod 5=0 \\ 7\cdot n+3\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 5\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens drei periodischen Zyklen: [67/100] siebengliedrig " 40 - 8 - 65 - 13 - 100 - 20 - 4 " [8/100] siebengliedrig " 45 - 9 - 75 - 15 - 3 - 30 - 6 " [25/100] zwanziggliedrig "135-27-195-39-285-57-405- ... ... -81-570-114-810-162-1140-228-1605-321-2250-450-90-18" \(m_{5;7;-2}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{5} & wenn\;\;\;r=n\mod 5=0 \\ 7\cdot n-2\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 5\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens sieben periodischen Zyklen: [7/100] zweigliedrig " 5 - 1 " [33/100] zweigliedrig " 10 - 2 " [15/100] zweigliedrig " 15 - 3 " [10/100] zweigliedrig " 20 - 4 " [4/100] elfgliedrig "230-46-320-64-440-88-610-122-850-170-34" [28/100] 22-gliedrig "115-23-155-31-215-43-295-59-405- ... ... -81-565-113-785-157-1095-219-1525-305-61-425-85-17" [3/100] 106-gliedrig "460-92-640- ... -1650-330-66" Auch hier hat gonz einen weiteren aufgespürt, und zwar mit respektablen \(\underline{634}\) Gliedern, welcher spätestens mit Startzahl \(7.529\) erreicht wird: [1] 52.695 ; [2] 10.539 ; [3] 73.765 ; [4] 14.753 ; [5] 103.265 ; ... ; [323] 5.237.257.805 ; [324] 1.047.451.561 ; [325] 7.332.160.925 ; [326] 1.466.432.185 ; [327] 293.286.437 ; [328] 2.053.005.055 ; ... ; [630] 4.705.625 ; [631] 941.125 ; [632] 188.225 ; [633] 37.645 ; [634] 7.529 ; [1] 52.695 \(m_{5;8;2}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{5} & wenn\;\;\;r=n\mod 5=0 \\ 8\cdot n+2\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 5\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"); erste "Divergatoren" sind \(9\), \(13\), \(16\), \(22\) ... Ansonsten tritt bloß ein einziger Zyklus auf, und zwar der siebengliedrige " 70 - 14 - 120 - 24 - 200 - 40 - 8 ". \(m_{5;8;-3}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{5} & wenn\;\;\;r=n\mod 5=0 \\ 8\cdot n-3\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 5\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens acht periodischen Zyklen: [5/100] zweigliedrig " 5 - 1 " [10/100] zweigliedrig " 10 - 2 " [4/100] zweigliedrig " 15 - 3 " [6/100] zweigliedrig " 20 - 4 " [28/100] sechzehngliedrig "255-51-405-81-645-129- ... ... -1020-204-1620-324-2580-516-4125-825-165-33" [8/100] sechzehngliedrig "245-49-380-76-605-121- ... ... -965-193-1535-307-2450-490-98-775-155-31" [38/100] 110-gliedrig "1165-233-1855-371- ... -18250-3650-730-146" [1/100] 110-gliedrig "1170-234-1860-372- ... -18375-3675-735-147" Dabei führt als erste die "\(93\)" in die "\(1170\)-er"-Schleife. \(m_{5;9;1}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{5} & wenn\;\;\;r=n\mod 5=0 \\ 9\cdot n+r & wenn\;\;\;r=n\mod 5\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"); erste "Divergatoren" sind \(9\), \(14\), \(17\) ... Ansonsten tritt bloß ein einziger Zyklus auf, und zwar der zwölfgliedrige "30-6-55-11-100-20-4-40-8-75-15-3". \(m_{5;9;-4}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{5} & wenn\;\;\;r=n\mod 5=0 \\ 9\cdot n-4\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 5\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"); erste "Divergatoren" sind \(14\), \(22\), \(23\) ... Allein für die ersten fünfundzwanzig Startzahlen werden schon sieben verschiedene Zyklen ausgebildet. \showoff \(d=6\) \showon \(m_{6;7;5}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{6} & wenn\;\;\;r=n\mod 6=0 \\ 7\cdot n+5\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 6\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens drei periodischen Zyklen: [80/100] neungliedrig "48-8-66-11-102-17-144-24-4" [15/100] elfgliedrig "60-10-90-15-120-20-150-25-180-30-5" [6/100] 23-gliedrig "810-135-960-160-1140-190-1350-225-1590- ... ... -265-1860-310-2190-365-2580-430-3030-505-3540-590-4140-690-115" Dabei führt als erste die "\(35\)" in die "\(810\)-er"-Schleife. \(m_{6;7;-1}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{6} & wenn\;\;\;r=n\mod 6=0 \\ 7\cdot n-r & wenn\;\;\;r=n\mod 6\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens fünf periodischen Zyklen: [5/100] zweigliedrig " 6 - 1 " [31/100] zweigliedrig " 12 - 2 " [14/100] zweigliedrig " 18 - 3 " [34/100] zweigliedrig " 24 - 4 " [16/100] zweigliedrig " 30 - 5 " \(m_{6;8;4}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{6} & wenn\;\;\;r=n\mod 6=0 \\ 8\cdot n+4\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 6\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens zwei periodischen Zyklen: [96/100] siebengliedrig " 24 - 4 - 48 - 8 - 72 - 12 - 2 " [4/100] dreizehngliedrig "600-100-816-136-1104-184-1488-248-1992-332-2664-444-74" \(m_{6;8;-2}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{6} & wenn\;\;\;r=n\mod 6=0 \\ 8\cdot n-2\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 6\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"); bereits ab der \(7\) scheinen alle ungeraden Startzahlen "Divergatoren" zu sein. Zuvor werden sechs verschiedene jeweils zweigliedrige Zyklen ausgebildet. zwei »Collatz-Cousinen« \(m_{6;9;3}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{6} & wenn\;\;\;r=n\mod 6=0 \\ 9\cdot n+3\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 6\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT, und zwar für jede Startzahl! \(m_{6;9;-3}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{6} & wenn\;\;\;r=n\mod 6=0 \\ 9\cdot n-3\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 6\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"); bereits ab der \(7\) scheinen alle nicht durch \(3\) teilbaren Startzahlen "Divergatoren" zu sein. Zuvor werden sechs verschiedene jeweils zweigliedrige Zyklen ausgebildet. Nacheinander scheinen also schon drei Folgen der tabellarischen Übersicht DIVERGENT. Und dann... \(m_{6;10;2}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{6} & wenn\;\;\;r=n\mod 6=0 \\ 10\cdot n+2\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 6\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit einem einzigen periodischen Zyklus: [100/100] siebengliedrig " 48 - 8 - 84 - 14 - 144 - 24 - 4 " Diese Folge, mit größerem \(\frac{a}{d}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}=1,\overline{6}\) , scheint also doch wieder »Collatz-Verhalten« aufzuweisen; wenn auch nicht in Reinkultur, wie ich zunächst im ersten Überschwang voreilig behauptet hatte. \(m_{6;10;-4}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{6} & wenn\;\;\;r=n\mod 6=0 \\ 10\cdot n-4\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 6\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"); erste "Divergatoren" sind \(7\), \(9\), \(10\), \(11\) ... Zuvor werden sechs verschiedene jeweils zweigliedrige Zyklen ausgebildet. \(m_{6;11;1}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{6} & wenn\;\;\;r=n\mod 6=0 \\ 11\cdot n+r & wenn\;\;\;r=n\mod 6\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"), aber deutlich zögerlicher als die vorherige; erste "Divergatoren" sind \(9\), \(17\), \(22\), \(23\) ... Ansonsten wird bloß genau ein periodischer Zyklus ausgebildet, und zwar der immerhin 61-gliedrige " 48 - 8 - 90 - 15 - ... - 144 - 24 - 4 ". \(m_{6;11;-5}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{6} & wenn\;\;\;r=n\mod 6=0 \\ 11\cdot n-5\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 6\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"), aber auch weniger penetrant als die vor-vorherige; erste "Divergatoren" sind \(17\), \(19\), \(27\), \(29\) ... Dafür neigt diese Folge zur überfruchtbaren Zyklenbildung; mit allein elf für ersten fünfzig Startzahlen. Das bislang klar interessanteste Grüppchen! \showoff \(d=7\) \showon \(m_{7;8;6}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{7} & wenn\;\;\;r=n\mod 7=0 \\ 8\cdot n+6\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 7\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens drei periodischen Zyklen: [48/100] neungliedrig " 48 - 4 - 56 - 8 - 70 - 10 - 98 - 14 - 2 " [33/100] dreizehngliedrig "84-12-126-18-168-24-210-30-252-36-294-42-6" [19/100] 68-gliedrig "742-106-854- ... -4508-644-92" \(m_{7;8;-1}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{7} & wenn\;\;\;r=n\mod 7=0 \\ 8\cdot n-r & wenn\;\;\;r=n\mod 7\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens sechs jeweils zweigliedrigen periodischen Zyklen: [12/100] zweigliedrig " 7 - 1 " [43/100] zweigliedrig " 14 - 2 " [22/100] zweigliedrig " 21 - 3 " [8/100] zweigliedrig " 28 - 4 " [3/100] zweigliedrig " 35 - 5 " [12/100] zweigliedrig " 42 - 6 " \(m_{7;9;5}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{7} & wenn\;\;\;r=n\mod 7=0 \\ 9\cdot n+5\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 7\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens vier periodischen Zyklen: [64/100] 22-gliedrig "56-8-77-11-119-17-168-24- ... ... -231-33-322-46-434-62-588-84-12-133-19-196-28-4" [14/100] 79-gliedrig "462-66-609- ... -2352-336-48" [2/100] 147-gliedrig "574-82-763- ... -2989-427-61" [20/100] 160-gliedrig "140-20-210- ... -735-105-15" \(m_{7;9;-2}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{7} & wenn\;\;\;r=n\mod 7=0 \\ 9\cdot n-2\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 7\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich nicht-divergent, also »wie Collatz«; mit mindestens acht periodischen Zyklen: [8/100] zweigliedrig " 7 - 1 " [13/100] zweigliedrig " 14 - 2 " [7/100] zweigliedrig " 21 - 3 " [11/100] zweigliedrig " 28 - 4 " [2/100] zweigliedrig " 35 - 5 " [4/100] zweigliedrig " 42 - 6 " [22/100] siebzehngliedrig "532-76-672-96-854-122- ... ... - 1092-156-1400-200-1792-256-2296-328-2940-420-60" [33/100] 85-gliedrig "133-19-161- ... -735-105-15" \(m_{7;10;4}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{7} & wenn\;\;\;r=n\mod 7=0 \\ 10\cdot n+4\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 7\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"), aber... mit mindestens zwei periodischen Zyklen: [88/100] elfgliedrig "168-24-252-36-364-52-532-76-784-112-16" [8/100] 131-gliedrig "18732-2676-26768-3824- ... -642096-91728-13104-1872" [4/100] mutmaßliche "Divergatoren", nämlich \(55\), \(57\), \(81\) und \(82\) Als erste in die "18732-er"-Schleife führt die Startzahl \(17\). \(m_{7;10;-3}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{7} & wenn\;\;\;r=n\mod 7=0 \\ 10\cdot n-3\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 7\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"), aber... mit mindestens acht periodischen Zyklen: [3/100] zweigliedrig " 7 - 1 " [13/100] zweigliedrig " 14 - 2 " [24/100] zweigliedrig " 21 - 3 " [5/100] zweigliedrig " 28 - 4 " [11/100] zweigliedrig " 35 - 5 " [3/100] zweigliedrig " 42 - 6 " [26/100] 24-gliedrig "1708-244-2422-346-3451-493-4921-703-7021-1003-10024-1432- ... ... -14308-2044-292-2905-415-4144-592-5908-844-8428-1204-172" [6/100] 286-gliedrig "3318-474-4725-675- ... -16317-2331-333" [9/100] mutmaßliche "Divergatoren": 38;47;53;59;65;74;83;89;92 Als erste in die "3318-er"-Schleife führt die Startzahl \(27\). \(m_{7;11;3}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{7} & wenn\;\;\;r=n\mod 7=0 \\ 11\cdot n+3\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 7\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"), und zwar deutlich. \(m_{7;11;-4}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{7} & wenn\;\;\;r=n\mod 7=0 \\ 11\cdot n-4\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 7\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"); erste "Divergatoren" sind \(18\), \(22\), \(26\), \(31\) ... Bis zur Startzahl \(100\) werden acht verschiedene periodische Zyklen ausgebildet. \(m_{7;12;2}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{7} & wenn\;\;\;r=n\mod 7=0 \\ 12\cdot n+2\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 7\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"); erste "Divergatoren" sind \(11\), \(17\), \(20\), \(29\) ... Ansonsten wird bloß genau ein periodischer Zyklus ausgebildet, und zwar der siebengliedrige " 28 - 4 - 56 - 8 - 98 - 14 - 2 " . \(m_{7;12;-5}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{7} & wenn\;\;\;r=n\mod 7=0 \\ 12\cdot n-5\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 7\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"); erste "Divergatoren" sind \(11\), \(16\), \(22\), \(24\) ... \(m_{7;13;1}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{7} & wenn\;\;\;r=n\mod 7=0 \\ 13\cdot n+r & wenn\;\;\;r=n\mod 7\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"); erste "Divergatoren" sind \(3\), \(5\), \(6\), \(10\), \(11\), \(12\) ... \(m_{7;13;-6}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{7} & wenn\;\;\;r=n\mod 7=0 \\ 13\cdot n-6\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 7\neq0 \end{array}\right.\) Mutmaßlich DIVERGENT (oder "flatterhaft"); erste "Divergatoren" sind \(11\), \(13\), \(17\), \(19\) ... \showoff \(d=8\) (in Bearbeitung...) \showon in Bearbeitung... \showoff \(d=9\) (in Bearbeitung...) \showon in Bearbeitung... \showoff \(d=10\) (in Bearbeitung...) \showon in Bearbeitung... \showoff \(d=11\) (in Bearbeitung...) \showon in Bearbeitung... \showoff Aktuell untersuche ich noch \(d=11\) zu Ende. Das Einarbeiten von gonz' Schleifenfunden ist auch noch nicht abgeschlossen... Gut Ding will Weile haben! 😉


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haegar90, Primentus und ich vermissen Dich! Und einige andere gewiss auch. Dein Account scheint noch aktiv zu sein - komm' bitte wieder ! 🤗


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gonz
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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-06-24 13:11

Ich habe noch ein bissl rumexperimentiert, da ich das Thema in einem python Kurs verwende (ich hoffe, ohne "unschuldige" angehende Informatiker oder Mathematiker mit dem Unheilbaren Collatz Virus zu infizieren). Zum Thema "wohin führen statistisch gesehen die ersten 100.000 Startwerte" ist folgendes bisher herausgepurzelt, das lässt sich sicher noch ausbauen. \showon Folgen mit Collatz Muster - definiert gemäß der Erweiterung nach Cramilu. Auswertung jeweils der ersten 100.000 Startwerte. ******************************************************************* Folge D=2 A=3 B=1 Zyklusanzahl=1 keine Divergenzen gefunden Zyklus[1] erreicht von 100.0% Zyklusspanne Min=1 Max=4 ******************************************************************* ******************************************************************* Folge D=2 A=3 B=-1 Zyklusanzahl=3 keine Divergenzen gefunden Zyklus[1] erreicht von 33.03% Zyklusspanne Min=1 Max=2 Zyklus[2] erreicht von 32.1% Zyklusspanne Min=5 Max=20 Zyklus[3] erreicht von 34.87% Zyklusspanne Min=17 Max=272 ******************************************************************* ******************************************************************* Folge D=3 A=4 B=2 Zyklusanzahl=2 keine Divergenzen gefunden Zyklus[1] erreicht von 3.72% Zyklusspanne Min=2 Max=18 Zyklus[2] erreicht von 96.28% Zyklusspanne Min=14 Max=378 ******************************************************************* ******************************************************************* Folge D=3 A=4 B=-1 Zyklusanzahl=3 keine Divergenzen gefunden Zyklus[1] erreicht von 10.25% Zyklusspanne Min=1 Max=3 Zyklus[2] erreicht von 64.02% Zyklusspanne Min=2 Max=6 Zyklus[3] erreicht von 25.74% Zyklusspanne Min=22 Max=198 ******************************************************************* ******************************************************************* Folge D=3 A=5 B=1 Zyklusanzahl=2 keine Divergenzen gefunden Zyklus[1] erreicht von 62.27% Zyklusspanne Min=4 Max=36 Zyklus[2] erreicht von 37.73% Zyklusspanne Min=8 Max=72 ******************************************************************* ******************************************************************* Folge D=3 A=5 B=-2 Zyklusanzahl=3 keine Divergenzen gefunden Zyklus[1] erreicht von 44.93% Zyklusspanne Min=1 Max=3 Zyklus[2] erreicht von 50.0% Zyklusspanne Min=2 Max=6 Zyklus[3] erreicht von 5.07% Zyklusspanne Min=209 Max=158553 ******************************************************************* ******************************************************************* Folge D=4 A=5 B=3 Zyklusanzahl=7 keine Divergenzen gefunden Zyklus[1] erreicht von 21.8% Zyklusspanne Min=1 Max=16 Zyklus[2] erreicht von 24.39% Zyklusspanne Min=3 Max=48 Zyklus[3] erreicht von 26.4% Zyklusspanne Min=61 Max=976 Zyklus[4] erreicht von 8.95% Zyklusspanne Min=69 Max=2208 Zyklus[5] erreicht von 13.54% Zyklusspanne Min=38 Max=6176 Zyklus[6] erreicht von 2.79% Zyklusspanne Min=119 Max=1904 Zyklus[7] erreicht von 2.14% Zyklusspanne Min=103 Max=1648 ******************************************************************* ******************************************************************* Folge D=4 A=5 B=-1 Zyklusanzahl=4 keine Divergenzen gefunden Zyklus[1] erreicht von 26.57% Zyklusspanne Min=1 Max=4 Zyklus[2] erreicht von 22.05% Zyklusspanne Min=2 Max=8 Zyklus[3] erreicht von 0.54% Zyklusspanne Min=3 Max=12 Zyklus[4] erreicht von 50.85% Zyklusspanne Min=18 Max=752 ******************************************************************* ******************************************************************* Folge D=4 A=6 B=2 Zyklusanzahl=1 keine Divergenzen gefunden Zyklus[1] erreicht von 100.0% Zyklusspanne Min=1 Max=16 ******************************************************************* ******************************************************************* Folge D=4 A=6 B=-2 Zyklusabzahl=3 erste mögliche Divergenz für Startwert 5 Divergent(?) 99.75 % Zyklus[1] erreicht von 0.01% Zyklusspanne Min=1 Max=4 Zyklus[2] erreicht von 0.23% Zyklusspanne Min=2 Max=8 Zyklus[3] erreicht von 0.01% Zyklusspanne Min=3 Max=12 ******************************************************************* \showoff


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