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Universität/Hochschule Konvergenz von Funktionenfolge
WagW
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  Themenstart: 2021-10-17

Hallo zusammen, vielleicht hat jemand eine Idee wie ich zeige, dass die Funktionenfolge: $$ f_n(x):=\begin{cases} \biggl| {{\cos (x/2)-\cos \bigl(\,(n+{1\over2})x\,\bigr)}\over 2\sin(x/2) } \biggr|, & ~ x \neq 2k\pi,~k\in\mathbb{Z}\\ 0, &~x=2k\pi,~k\in\mathbb{Z}, \end{cases} $$ wobei $x\in\mathbb{R}$, nicht gleichmäßg konvergiert? Viele Grüße WagW


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-17

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, überlege dir eventuell zunächst, ob die Folge überhaupt punktweise konvergiert. Setze zum Beispiel $x=2$. Dann hast du die Folge $$ \left(\frac{|\cos(1)-\cos(2n+1)|}{2\sin(1)}\right)_{n\in \mathbb N}. $$ Konvergiert diese? LG Nico\(\endgroup\)


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WagW
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-18

Ouh o.k. daran habe ich mal gar nicht gedacht 😄 Also im Prinzip sieht man ja direkt, dass für ein fixes $x$ der Ausdruck die ganze Zeit, also für $n\to\infty$ hin und her wackelt und es also keinen Grenzwert geben kann. Wenn ich jetzt mal $x=\frac{\pi}{2}$ setze, so erhalte ich: $$f_n(x)= \biggl| {{\cos (\frac{\pi}{4})-\cos \bigl(\,(n+{1\over2})\frac{\pi}{2}\,\bigr)}\over 2\sin(\frac{\pi}{4}) } \biggr|=\frac{1}{2}-\frac{\cos \bigl(\,(n+{1\over2})\frac{\pi}{2}\,\bigr)}{\sqrt{2}}.$$ Betrachte ich nun die Teilfolge mit den Indices $(1,2,5,6,9,10\cdots)$, so erhalte ich als potenziellen punktweisen Grenzwert $\frac{1}{2}+1$. Betrachte ich die Teilfolge mit den Indices $(3,4,7,8,11,12\cdots)$, so erhalte ich als potenziellen punktweisen Grenzwert $\frac{1}{2}-1$. Auf ganz $\mathbb{R}$ kann die Funktionenfolge somit schonmal nicht gleichmäßig konvergieren. Stimmt das soweit? Wie kann ich das jetzt auf einen beliebigen Punkt $x\neq 2k\pi, k\in\mathbb{Z}$ verallgemeinern?


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, gleichmäßige Konvergenz ist eine viel stärkere Aussage als punktweise Konvergenz. Insbesondere folgt aus gleichmäßiger Konvergenz direkt die punktweise. Wenn du also einen einzigen Wert für $x$ findest, für den die Folge $(f_n(x))_{n\in \mathbb N}$ nicht konvergiert, so kann die Folge $(f_n)_{n\in \mathbb N}$ auch nicht gleichmäßig konvergieren (da sie dann ja nicht einmal punktweise konvergiert). LG Nico\(\endgroup\)


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WagW
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-18

Und wenn ich jetzt den Definitionsbereich so einschränke, dass $\frac{\pi}{2}$ nicht mehr erlaubt ist? Kann ich dann obigen Widerspruch immer noch auf andere "erlaubte" Zahlen anwenden? bei $\frac{\pi}{2}$ kamen halt zufällig schöne Ergebnisse heraus.


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Von welchem Widerspruch sprichst du denn? Ich verstehe glaube ich dein Anliegen (noch) nicht ganz. Du wolltest die gleichmäßige Konvergenz widerlegen, oder? Vom ersten Anblick würde ich sagen, dass die Folge $(f_n(x))_{n\in \mathbb N}$ für alle $x\in \mathbb R\setminus 2\pi\mathbb Z$ divergiert, denn ist $x\in \mathbb R\setminus 2\pi\mathbb Z$ so haben wir $$ f_n(x)=\left|\frac{a_x-\cos(nx+b_x)}{c_x}\right| $$ für irgendwelche Konstanten $a_x,b_x,c_x\in \mathbb R$ mit $b_x,c_x\neq 0$. Nun ist klar, dass die Folge $(\cos(nx+b_x))_{n\in \mathbb N}$ divergiert und somit auch die Folge $(f_n(x))_{n\in \mathbb N}$ divergiert (wobei man hier wohl noch die Details ausarbeiten müsste). LG Nico\(\endgroup\)


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WagW
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-18

Ich meinte den Widerspruch bei dem ich gezeigt habe, dass zwei Grenzwerte herauskämen, also $\frac{1}{2}+1$ und $\frac{1}{2}-1$. Kann ich so etwas auch für jeden beliebigen Wert zeigen?


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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-18

Das ist ja kein Widerspruch den du hergeleitet hast. Du hast höchstens gezeigt, dass die Folge mindestens zwei verschiedene Häufungspunkte besitzt. Ich habe meinen vorherigen Beitrag nochmal erweitert. LG Nico


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WagW
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-18

Naja, ich habe angenommen, dass die Folge $(f_n(\frac{\pi}{2}))$ konvergent sei. Dann habe ich aber gezeigt, dass ich zwei Teilfolgen konstruieren kann, die zwei unterschiedliche Grenzwerte besitzen. Das ist ein Widerspruch zur angenommenen Konvergenz. Damit kann die Folge nicht konvergent sein. Und dies kann man doch bestimmt irgendwie auf beliebige $x\in \mathbb R\setminus 2\pi\mathbb Z$ Werte verallgemeinern. Wie würdest Du ansonsten vorgehen, wenn Du "die Details weiter ausarbeiten würdest"?


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nzimme10
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Zunächst ist auch die Folge $(\underbrace{|\cos(nx+b_x)|}_{=: \, d_n})_{n\in \mathbb N}$ divergent. Durch Multiplikation mit $\frac{1}{|c_x|}$ wird sie dadurch auch nicht konvergent, denn wäre $\left(\frac{1}{|c_x|}d_n\right)_{n\in \mathbb N}$ konvergent so auch $(d_n)_{n\in \mathbb N}$ (multipliziere mit $|c_x|$, was an der Konvergenz nichts ändert). Nun gilt es sich noch zu überlegen was das $a_x$ an der Konvergenz/Divergenz ändern könnte. LG Nico\(\endgroup\)


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-18

Achso meinst Du das 🙃 ich hatte mich da irgendwie zu sehr auf den Ansatz mit den Teilfolgen versteift, weil wir das häufig so gemacht haben. Dann kann man das ganze mit den Rechenregeln für konvergente Folgen auflösen. Ich bleib mal bei Deiner Notation: $(\frac{a_x}{c_x})$ ist als konstante Folge konvergent, $\left(\frac{\cos(nx+b_x)}{c_x}\right)$ ist, wie Du begründet hast, divergent. Wäre nun $\left(\frac{a_x-\cos(nx+b_x)}{c_x}\right)$ konvergent, so würde daraus folgen, dass auch $(\frac{a_x}{c_x})-\left(\frac{a_x-\cos(nx+b_x)}{c_x}\right)=\left(\frac{\cos(nx+b_x)}{c_x}\right)$ konvergent wäre, was ein Widerspruch ist. Damit wäre das dann bewiesen, oder? Danke nochmal 🙂


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