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Universität/Hochschule J Funktion mit Abbildungsmatrix bestimmen
tom_smurf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-16


Hallo,

ich verzweifel gerade an einer Aufgabe und komme gar nicht voran. Ich verzweifel ehrlich gesagt schon daran, was ich genau machen muss und wie, verstehe ich noch viel weniger.
Wenn mir jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar.


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Vielen Dank schon Mal im Voraus

Gruß Tom




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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-16


Hallo Tom und willkommen auf dem Matheplaneten!

Abstrahiere mal von den Details der Aufgabe und überlege dir ganz allgemein nochmal, was so eine Abbildungsmatrix bedeutet. Wie kommt man bei einer gegebenen linearen Abbildung auf die Matrix? Was genau bedeutet die Matrix?

LG Nico



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Akura
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \)
Hey! 👋

Fangen wir mal vorne an:

Ist dir klar, dass \(\bC^{2\times 2}\) ein \(4\)-dimensionaler Vektorraum über \(\bC\) ist?

Ist dir klar, dass \(4\times 4\)-Matrizen lineare Transformationen von so einem \(4\)-dimensionalen Vektorraum in sich selbst darstellen?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
Lieber fünfmal nachgefragt als einmal nachgedacht.
\(\endgroup\)


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tom_smurf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-16


Hallo,

also ich habe jetzt nochmal drüber nachgedacht und wenn ich das richtig verstanden habe muss ich nun überlegen welche Lineare Funktion f es gibt, mit:

fed-Code einblenden

Ich weiß nicht ob meine Gedankengänge so Sinn ergeben, aber ich hoffe es zumindest.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

Das geht alles viel einfacher. Da Urbild und Bild die gleiche Basis haben, sind die Spalten der Darstellungsmatrix die Bilder deiner Basis \(B\) unter \(f\). Drücke also die Matrix \(\bpm a&b\\c&d\epm\) durch eine Linearkombination der Basis aus und dann überlege, was mit den Bildern der Basis zu tun ist, um das Bild von \(\bpm a&b\\c&d\epm\) zu bekommen...

Das funktioniert vom Prinzip her wie bei normalen Spaltenvektoren, wie ja auch schon mehrfach angedeutet wurde.

Insbesondere benötigt man hier höchstens für den ersten Schritt ein 4x4-LGS.


Gruß, Diophant  
\(\endgroup\)


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tom_smurf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-16


Hallo Diophant,

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Gruß
Tom



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tom_smurf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-16


Ich habs jetzt nochmal mit meinem ersten Weg probiert.

Stimmt so die Funktion f?

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Gruß Tom



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-16


Hallo,

auch das Bild deiner Funktion muss wieder eine 2x2-Matrix sein...


Gruß, Diophant



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tom_smurf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-16


Hm ok...

Also nochmal "langsam"

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So jetzt würde ich an sich überlegen, wie ich von jedem dieser einzelnen Matritzen auf die einzelnen Spalten der Abbildungsmatrix komme. Die ist ja definiert durch: \([f]_{B,B}=[f(B_1)  f(B_2)...]\), wenn ich mich nicht irre.
Irgendwie glaube ich habe ich gerade irgendwo einen Denkfehler



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

vergiss einmal die Abbildungsmatrix und konzentriere dich auf die Tatsache, dass du es mit einer linearen Abbildung zu tun hast.

Die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix stehen ja auch wieder nur für eine Linearkombination der Basis. Die erste Spalte steht bspw. für

\[f\left(\bpm 1&0\\0&0 \epm\right)=2i\cdot\bpm 1&0\\0&0 \epm+ 0\cdot\bpm 0&1\\1&0 \epm+0\cdot\bpm 0&1\\-1&0 \epm+i\cdot\bpm 1&1\\1&1 \epm=\bpm 3i&i\\i&i \epm\]
Wird es jetzt klarer?

Deine berechnete Linearkombination ist übrigens richtig. 👍


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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tom_smurf
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Ah ok also ich glaube ich komme dem ganzen näher.

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Stimmt das so?



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Diophant
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Hallo,

das ist jetzt richtig. 👍

Jetzt schau mal deine Rechnung daraufhin durch, wo du sie noch nachvollziehbarer machen kannst.

Ich würde wie gesagt die Bilder der Basisvektoren einzeln ausrechnen (und hinschreiben) und dann nur noch über die Linearität argumentieren.


Gruß, Diophant



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tom_smurf
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Ja klar das schreibe ich dann nochmal richtig auf.

Vielen Dank für deine Hilfe 😃



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