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Universität/Hochschule Bilinearformen und lineare Operatoren
Chris311
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  Themenstart: 2012-02-04

\ Hallo, ich betrachte den folgenden Satz. \big\Satz__ Jede stetige Bilinearform auf H \cross H lässt sich eindeutig durch linearen Operator A: H -> H^\* darstellen. Beweis__: x fest => Ax \in H^\*, weil (Ax)\(.\) = b(x,.) linear. A(x_1+x_2)(y) = ... = \(Ax_1 \)(y) + \(Ax_2 \)(y), \forall y \in H. norm(A) = ... <= c \bigbox Ich sehe hier irgendwie nicht den Zusammenhang der Satzaussage zum Beweis. Wo wird hier die Eindeutigkeit gezeigt? Wofür brauche ich die erste Zeile im Beweis? Was muss überhaupt gezeigt werden? Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann. Liebe Grüße Chris [ Nachricht wurde editiert von fed am 04.02.2012 15:02:42 ]


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owk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2012-02-04

Hallo. Ich denke die Beweisstrategie definiert erst einmal eine Mengen-Abbildung $A$ (punktweise in $x$) und zeigt dann, dass diese Abbildung ein linearer Operator ist. owk


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Chris311
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-02-04

Hallo owk und danke für deine schnelle Antwort. Und die Eindeutigkeit?


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Buri
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  Beitrag No.3, eingetragen 2012-02-04

\quoteon(2012-02-04 14:48 - Chris311 im Themenstart) Wofür brauche ich die erste Zeile im Beweis? \quoteoff Hi Chris311, um A festzulegen und gleichzeitig die Eindeutigkeit zu beweisen. Machen wir es mal ganz langsam. b(x,.) ist ein lineares Funktional, das von x abhängt. Nach dem Satz von Riesz kann es als Skalarprodukt <h,x> dargestellt werden. Dieses h, das von x abhängt, bezeichnen wir mit Ax, und du hast richtig bewiesen, dass A eine lineare Abbildung ist. Wenn die Eindeutigkeit verletzt wäre, gäbe es Abbildungen A1 ≠ A2 mit <A1x,y> = <A2x,y> für alle x und y. Natürlich folgt daraus A1x = A2x für alle x, also A1 = A2, das heißt, die Abbildungen sind doch gleich, Widerspruch. Gruß Buri PS: Der Satz wird nach Riesz oder nach Fréchet-Riesz benannt. Der Satz von Riesz-Fischer ist etwas Anderes, ich habe das verwechselt. [ Nachricht wurde editiert von Buri am 06.02.2012 21:27:55 ]


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Chris311
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-02-04

Hallo buri, auch dir danke ich für deine Antwort. So ist das. Das heißt, Riesz liefert hier sozusagen die Existenz, richtig? Dieser erlaubt es uns überhaupt erst \ \(Ax\)(y) := b(x,y) zu betrachten. Aber sollte h nicht von y abhängen? [ Nachricht wurde editiert von Chris311 am 07.02.2012 10:29:29 ]


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Chris311
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2012-02-04

\ Ich wollte gerade die Voraussetzungen des Satzes von Riesz überprüfen, sprich verifizieren, dass es sich bei b(x,.) um ein lin. stetiges F'nal handelt. Ich hänge dabei fest. b(x,.) ist linear, da bilinear. noch zu zeigen: b(x,y) <= c norm(y) Nach Voraussetzung gilt b(x,y) <= c norm(x) norm(y) Und das norm(x) kann ich ja nicht geeignet abschätzen...Wie läuft das hier?


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Buri
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  Beitrag No.6, eingetragen 2012-02-04

\quoteon(2012-02-04 16:22 - Chris311 in Beitrag No. 5) Und das ||x|| kann ich ja nicht geeignet abschätzen...Wie läuft das hier? \quoteoff Hi Chris311, schaffe keine Probleme, wo keine sind. x ist fest, also kannst du mit ||x|| und allen anderen Eigenschaften von x arbeiten, es gibt nichts "abzuschätzen". Gruß Buri


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Chris311
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2012-02-04

Stimmt, dann packe ich das einfach in das c mit rein. Aber was sagst du zu meinem 4. Post?


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Buri
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  Beitrag No.8, eingetragen 2012-02-04

\quoteon(2012-02-04 17:00 - Chris311 in Beitrag No. 7) Aber was sagst du zu meinem 4. Post? \quoteoff Hi Chris311, nein, h hängt nicht von y ab. h(x)(y) = b(x,y). h(x) ist ein Objekt, das auf y wirkt, oder wirken könnte. Aber das bedeutet nicht, dass es von y abhängt. Gruß Buri


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Chris311
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2012-02-04

\ Ok, dann versuche ich es noch einmal in aller Ausführlichkeit. Also, das es sich bei b(x,.) um ein stetiges lineares Funktional handelt haben wir geklärt (siehe oben). Wir können also Riesz-Fischer anwenden und erhalten, dass es ein h \in H gibt, so dass b(x,y) = , \forall y \in H. Du schlugst nun vor, dass man h := Ax setzt. Damit ist Ax aber \in H und nicht in H^\* ? Das ist ein Problem!? Liebe Grüße Chris [ Nachricht wurde editiert von fed am 04.02.2012 17:35:46 ]


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StefanVogel
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  Beitrag No.10, eingetragen 2012-02-05

\ Hallo Cris, stimmt, das A aus h:=Ax ist noch nicht die gesuchte Lösung, aber so nahe dran, dass man dafür auch die gleiche Bezeichnung verwenden kann. x und h sind Elemente aus H, x->h ist ein Element von H^\*, gesucht ist ein A: H -> H^\* . Viele Grüße,   Stefan


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Chris311
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2012-02-05

Ich verstehe das leider irgendwie nicht. "Jede stetige Bilinearform lässt sich eindeutig durch linearen Operator A: H -> H* darstellen." \ Definiert man allerdings \(Ax\)(y) := b(x,y) ist man doch in einer anderen Situation? Was passiert hier überhaupt? \(Ax\)(y), was ist das überhaupt? A ist der lineare Operator Ax ist A angewendet auf x \(Ax\)(y) ist dann wohl Ax angewendet auf y Aber das ist doch dann etwas anderes als in der Satzaussage. Im Satz steht, "lässt sich eindeutig durch einen linearen Operator darstellen." Was soll das denn dann bedeuten? Der lineare Operator ist ja wegen \(Ax\)(y) := b(x,y) nur ein Teil der Definition. Ich kann mein Problem gar nicht recht schildern. Ich blicke einfach nicht durch; und wahrscheinlich blickt auch keiner durch meinen Nichtdurchblick durch.


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Buri
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  Beitrag No.12, eingetragen 2012-02-06

\quoteon(2012-02-05 17:18 - Chris311 in Beitrag No. 11) (Ax)(y), was ist das überhaupt? \quoteoff Hi Chris311, Ax ist ein Element von H*. Dieser Raum, der Dualraum von H, besteht aus linearen stetigen Funktionalen von H in den Grundkörper K, der \IR oder \IC sein kann. (A(x))(y) ist die Anwendung von A(x) auf y, wobei man die Klammern um y und die Außenklammern bei (A(x)) notfalls weglassen kann (bei linearen Abbildungen tut man das), aber die bei A(x) zunächst nicht, weil die Linearität von A erst bewiesen werden soll. Dies alles gilt für einen normierten Raum H. Falls H sogar ein Hilbertraum ist (ich dachte zuerst, das ist vorausgesetzt, so ist auch mein Beitrag #3 zu verstehen), kann man aus A sogar eine Abbildung von H in H machen. Das ist zwar verwandt, aber es ist etwas Anderes, hier heißt es nämlich nicht A(x)y, sondern <A(x),y>, wobei <.,.> das Skalarprodukt im Hilbertraum H bezeichnet. Zur Begründung wird hier der Satz von Riesz verwendet. Dies will die Aufgabe aber gar nicht, weil ausdrücklich vom Dualraum gesprochen wird, und damit wird der Satz von Riesz gar nicht gebraucht. Wenn H wirklich ein normierter Raum (aber kein Hilbertraum) ist, dann ist mein Ansatz im Beitrag #3 und auch dessen Fortführung im Beitrag #10 nicht brauchbar. Leider ist mir das erst jetzt aufgefallen. Gruß Buri


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Chris311
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2012-02-07

\ Ok, der Komplikationen wegen noch einmal ganz von vorne. Ich mache das jetzt einmal 1:1 wie in unserem Skript. \big\Satz__ Jede stetige Bilinearform auf H \cross H lässt sich eindeutig durch linearen Operator A: H -> H^\* darstellen. (Ax)(y) = b(x,y), \forall (x,y) \in H \cross H (Ax \in H^\*, y \in H, b Bilinearform) norm(A) = sup(norm(x)<=1, norm(Ax)_(H^\*)) <= c, wobei b(x,y) <= c norm(x) norm(y) Beweis__: x fest => Ax \in H^\*, weil (Ax)\(.\) = b(x,.) linear. A(x_1+x_2)(y) = ... = \(Ax_1 \)(y) + \(Ax_2 \)(y), \forall y \in H. norm(A) = ... <= c \bigbox Und genauso (bloß ohne "...") steht es in unserer Vorlesung. Fangen wir mal langsam an: Was soll der Teil direkt hinter der Satzaussage (vor dem Beweis)? Handelt es sich dabei um eine Definition? Ist das eigentlich schon Teil des Beweises? Oder gibt es uns eine Idee, was zu beweisen ist? Liebe Grüße Chris


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Buri
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  Beitrag No.14, eingetragen 2012-02-07

Hi Chris311, die letzte Zeile ist Bestandteil des Satzes. Die Ungleichung nach "wobei" ist dabei eine Voraussetzung, durch welche die Zahl c eingeführt wird. Gruß Buri


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Chris311
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2012-02-07

\ Hallo buri, und das andere: (Ax)(y) = b(x,y), \forall (x,y) \in H \cross H (Ax \in H^\*, y \in H, b Bilinearform) Handelt es sich dabei um die Satzaussage in mathematischer Schreibweise? Grüße


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Chris311
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2012-02-09

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Chris311
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StefanVogel
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  Beitrag No.18, eingetragen 2012-02-12

\ Hallo Chris, ja, es handelt sich dabei um die Satzaussage in mathematischer Schreibweise. Ich ergänze nochmal ein L als Zeichen hier für die Menge der linearen Operatoren von H nach H^\*: \exists\ A\el\ L(H,H^\*) \forall\ (x,y) \in H \cross H: (Ax)(y) = b(x,y). Bereits in Beitrag No. 11 hast du alles richtig aufgeschrieben. A und Ax sind lineare Operatoren, sie lassen sich nur nicht unter einen Hut bringen, weil es zwei verschiedene lineare Operatoren sind. (Ax) ist Abbildung von H nach H und linear, weil b(x,y) in der rechten Komponente linear ist. Das hast du bereits nachgewiesen und musst die  entsprechende Aussage für A nur noch aus den verschiedenen Beiträgen heraussuchen. Viele Grüße,   Stefan


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Chris311
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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2012-02-12

Die lineare Abbildung A ist also eigentlich Ax? [ Nachricht wurde editiert von Chris311 am 12.02.2012 12:06:50 ]


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Chris311
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2012-02-14

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Gockel
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  Beitrag No.21, eingetragen 2012-02-14

Nein. A ist A. mfg Gockel.


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Chris311
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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2012-02-14

Hallo Gockel und danke für deine Antwort. Hast du vielleicht einen Alternativbeweis? Ich verstehe diesen hier beim besten Willen nicht... Liebe Grüße Chris


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Gockel
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  Beitrag No.23, eingetragen 2012-02-14

Nein, es gibt keinen Alternativbeweis. Das lässt sich nur auf diese eine Weise machen. A wird definiert durch Ax:=cases(H\to\ K;y\mapsto\ b(x,y)) für alle x\in\ H. Es gilt also (Ax)(y) = b(x,y) nach Definition. Dass es höchstens eine Abbildung H\to\ H^\* mit dieser Abbildungsvorschrift gibt, ist klar. Die Frage ist, ob A wirklich als Abbildung H\to\ H^\* aufgefasst werden kann, d.h. die Wohldefiniertheit muss geprüft werden. Das wird mit Hilfe der Definition nachgerechnet. Jedes Ax ist linear und stetig mit norm(Ax)_(H^\*)<=c*norm(x)_H. D.h. Ax ist ein Element von H^\*. Also ist A tatsächlich eine Abbildung H\to\ H^\*. Erneutes Einsetzen in die Definitionen zeigt, dass A selbst linear und stetig ist mit norm(A)_(H\to\ H^\*)<=c. Welcher dieser Schritte ist dir unklar? mfg Gockel. [ Nachricht wurde editiert von fed am 08.03.2012 18:32:30 ]


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Chris311
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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2012-03-08

\ Hallo Gockel, es gibt da so ein paar Dinge die mir noch unklar sind. Zum Beispiel die Zeile A(x_1+x_2)(y) = ... = \(Ax_1 \)(y) + \(Ax_2 \)(y), \forall y \in H. Wofür ist das? Sehe ich das richtig, dass durch die beiden anderen Zeilen: x fest => Ax \in H^\*, weil (Ax)\(.\) = b(x,.) linear. norm(A) = ... <= c \bigbox nachgewiesen wird, dass A auch wirklich von H -> H^\* abbildet? Hier wird ja gewissermaßen die Linearität und die Stetigkeit untersucht. Liebe Grüße Chris Edit: Ich Chat mit Gockel geklärt. [ Nachricht wurde editiert von Chris311 am 10.03.2012 23:29:37 ]


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
ppgt1
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  Beitrag No.25, eingetragen 2022-01-21

Wieso gilt hier nicht die Gleichheit der Operatornorm und der Norm der Bilinearform? Beim Verwenden der Definitionen komme ich auch Gleichheit: \[\|A\| = \sup_{x\in H\setminus\{0\}} \frac{\|Ax\|_{H'}}{\|x\|} = \sup_{x\in H\setminus\{0\}} \sup_{y\in H\setminus\{0\}} \frac{|Ax(y)|}{\|x\| \|y\|} = \|b\|\] \quoteon(2012-02-14 19:35 - Gockel in Beitrag No. 23) Nein, es gibt keinen Alternativbeweis. Das lässt sich nur auf diese eine Weise machen. A wird definiert durch Ax:=cases(H\to\ K;y\mapsto\ b(x,y)) für alle x\in\ H. Es gilt also (Ax)(y) = b(x,y) nach Definition. Dass es höchstens eine Abbildung H\to\ H^\* mit dieser Abbildungsvorschrift gibt, ist klar. Die Frage ist, ob A wirklich als Abbildung H\to\ H^\* aufgefasst werden kann, d.h. die Wohldefiniertheit muss geprüft werden. Das wird mit Hilfe der Definition nachgerechnet. Jedes Ax ist linear und stetig mit norm(Ax)_(H^\*)<=c*norm(x)_H. D.h. Ax ist ein Element von H^\*. Also ist A tatsächlich eine Abbildung H\to\ H^\*. Erneutes Einsetzen in die Definitionen zeigt, dass A selbst linear und stetig ist mit norm(A)_(H\to\ H^\*)<=c. Welcher dieser Schritte ist dir unklar? mfg Gockel. [ Nachricht wurde editiert von fed am 08.03.2012 18:32:30 ] \quoteoff


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Wally
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  Beitrag No.26, eingetragen 2022-01-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Meine Gute Tat für heute: Formel repariert. \(\displaystyle \|A\| = \sup_{x\in H\setminus\{0\}} \frac{\|Ax\|_{H'}}{\|x\|} = \sup_{x\in H\setminus\{0\}} \sup_{y\in H\setminus\{0\}} \frac{|Ax(y)|}{\|x\| \|y\|} = \|b\| \) Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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ppgt1
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  Beitrag No.27, eingetragen 2022-01-21

Hi Wally, herzlichen Dank fürs Reparieren. Hast Du auch noch eine Antwort auf meine Frage? Danke nochmals, Felix


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Gockel
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Wohnort: Jena
  Beitrag No.28, eingetragen 2022-05-04 11:42

Hi. \quoteon(2022-01-21 12:47 - ppgt1 in Beitrag No. 25) Wieso gilt hier nicht die Gleichheit der Operatornorm und der Norm der Bilinearform? Beim Verwenden der Definitionen komme ich auch Gleichheit: [...] \quoteoff Es hat doch niemand behauptet, dass keine Gleichheit gilt. Ein $\leq$ schließt bekanntlich die Möglichkeit der Gleichheit mit ein. mfg Gockel.


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