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buhs Montagsreport: Neues MileLight der Forschung
Freigegeben von matroid am Mi. 01. April 2020 00:00:21
Verfasst von buh - (158 x gelesen)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)
Das Gerno-Logo für buhs Montagsreport
Neues MileLight der Forschung
Subtraktion endgültig kommutativ


03869 Duemmer*. Noch immer ist die Welt nicht perfekt.
Noch immer fehlen Beweise.
Noch ist Hoffnung.
Unermüdlich forschen und wirken Gerno Twolte**&Team©, um der Mathematik ein Stück weiter den Weg zu ebnen.
Und wieder einmal ist es soweit: Der Erbe der Titanen, der Plotter der Smartboardrunde, der unermüdliche Rächer der Inversen hat ein weiteres MileLight**** in harter Teamarbeit bewiesen:

Die Subtraktion ist kommutativ*!

Unglaublich, aber wahr: Was niemand bisher für möglich hielt, konnten Gerno Twolte&Team© \(\endgroup\)
mehr... | 2999 Bytes mehr | 3 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


buhs Montagsreport: n.n..n…neunzehn
Freigegeben von matroid am Mo. 16. März 2020 07:55:09
Verfasst von buh - (333 x gelesen)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)
Logo mit Schein für buhs Montagsreport
n.n..n…neunzehn

Eine Corona ohne Corona


Berlin*.Nein, nicht noch ein Corona-Report mit "Rasierwasser hilft vermutlich gegen Fibrosen"; "Putin hat Tramp L. das Xiaoha-Virus geklaut" oder "Haaaaaferflocken‼ Nur noch wenige Tüten im Angebot‼"; aber ein Corona-Report aus aktuellem Anlass: \(\endgroup\)
mehr... | 2236 Bytes mehr | 5 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


buhs Montagsreport: Nachhaltigkeit und Rechnen
Freigegeben von matroid am Mo. 17. Februar 2020 20:58:12
Verfasst von Leonardo_ver_Wuenschmi - (329 x gelesen)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)
Reverses Urlogo für buhs Montagsreport
Nachhaltigkeit und Rechnen

Zu Herkunft und Zukunft der Zahlen


Zinbiel: Auch die Rückseite des Matheplaneten ist von so nicht vorhersehbaren Veränderungen betroffen. Und das nicht zu knapp!
Während sich auf der sogenannten FrontPage alles um Meeresspiegel, Klimawandel und essbares Unfleisch dreht, drohen der Rückseite des Matheplaneten die Zahlen auszugehen!
Einer soeben veröffentlichten Studie des MM* zufolge wird es möglicherweise in wenigen Jahren nur noch vereinzelt ZAHLEN geben‼ Eine Zahlenknappheit droht!
Die Gründe dafür sind
\(\endgroup\)
mehr... | 4397 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


Stern Mathematik: Lineare Algebra für Dummies
Freigegeben von matroid am Do. 03. Oktober 2002 18:08:50
Verfasst von matroid - (209168 x gelesen)
Lineare Algebra  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \)
Schon mehrmals wurde hier oder anderswo nach einem Buch mit dem Titel "Lineare Algebra für Dummies" gefragt.

In der Linearen-Algebra-Vorlesung begegnen Erstsemester der strengen Mathematik gewöhnlich zum ersten Mal. Sie (die Mathematik) gibt sich unzugänglich, bedeutungslos und unanschaulich.

Frage: "Muß das so sein?"
Antwort: "Aber ja, irgendwann und für alles gibt es ein erstes Mal!"
Gegenfrage: "Aha, und wie kann sich jemand jemals daran gewöhnen?"

Zur [pdf-Fassung dieses Artikels]
\(\endgroup\)
mehr... | 30184 Bytes mehr | 51 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Jenseits der quadratischen Ergänzung
Freigegeben von matroid am So. 09. Februar 2020 14:17:23
Verfasst von Gerhardus - (272 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Jenseits der quadratischen Ergänzung - Wesentliches über die Mathematik von Parabeln

Elementare Beweise für quadratische Funktionen und Parabeln diesseits und jenseits der Schulmathematik: Geometrie, Algebra, Koeffizientenvergleich, Lösungsmethoden, Vieta jumping, Tangenten, Brennpunkt-Eigenschaft, die Parabel als echter Kegelschnitt, Quadratur des Archimedes und Parabeln mit beliebigen Achsen in der x-y-Ebene. Für jeden, der mehr will als die gewöhnlichen Lehrbücher bieten. Mein 13. matheplanet-Artikel des lapidaren Wissens mit über 20 Sätzen. Zum Jenseits bitte hier klicken. Hier geht es weiter zum
\(\endgroup\)
mehr... | 7523 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  | Mathematik


Matheplanet-Award: Verleihung der 18. Matheplanet-Mitglieder-Awards
Freigegeben von matroid am So. 26. Januar 2020 15:00:04
Verfasst von matroid - (1110 x gelesen)
Matheplanet-Award  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \)
Verleihung
der 18. Matheplanet-Mitglieder-Awards

26. Januar 2020
\(\endgroup\)
mehr... | 114235 Bytes mehr | 25 Kommentare | Druckbare Version  | Matheplanet-Award


Mathematik: Ramsey-Zahlen
Freigegeben von matroid am Mo. 23. Dezember 2019 20:06:37
Verfasst von Triceratops - (321 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Ramsey-Zahlen

Silvester steht vor der Tür. Auf so einer Silvesterparty sehen sich manche Gäste zum ersten mal und kannten sich vorher nur über Ecken. Es gibt also unterschiedlich große Gruppen von einander Bekannten und Gruppen von einander Fremden. Wie groß können diese Gruppen sein? Oder genauer gesagt, wie groß muss die Anzahl der Gäste überhaupt sein, damit es auf jeden Fall eine Gruppe von $n$ Bekannten oder eine Gruppe von $m$ Fremden gibt? (Beides gleichzeitig können wir natürlich nicht erwarten.) Oder gibt es überhaupt so eine Anzahl? Das Theorem von Ramsey sagt, dass es tatsächlich eine solche Anzahl gibt. Die Mindestanzahl von benötigten Gästen wird als Ramsey-Zahl $R(n,m)$ definiert. Bis heute sind nur relativ wenige konkrete Werte von $R(n,m)$ bekannt. Es gilt zum Beispiel $R(4,4)=18$, was bedeutet, dass es auf einer Party mit $18$ Gästen (aber nicht unbedingt auf einer Party mit $17$ Gästen) auf jeden Fall $4$ Bekannte oder $4$ Fremde gibt. Dieser Artikel gibt eine kurze Einführung in Ramsey-Zahlen.

\(\endgroup\)
mehr... | 18138 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p = f^q$
Freigegeben von matroid am Fr. 13. Dezember 2019 21:45:02
Verfasst von Triceratops - (375 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p=f^q$

Für feste natürliche Zahlen $n,p,q$ bestimmen wir die Anzahl der Abbildungen $f : \{1,\dotsc,n\} \to \{1,\dotsc,n\}$ mit $f^p = f^q$, wobei $f^p$ die $p$-fache Verkettung von $f$ sei. Wir leiten insbesondere für festes $p \geq 2$ und $q=1$ die erzeugende Funktion $\exp(\sum_{d ~\mid~ p-1} \frac{1}{d} (z \cdot \exp(z))^d)$ für die Anzahlen her. Am Ende zeigen wir eine alternative Herleitung auf, die mit kombinatorischen Spezies arbeitet. Das folgende Bild zeigt zum Beispiel eine Abbildung $f$ mit $f^6=f^2$.

<math>
\newcommand{\rdot}{\textcolor{red}{$\bullet$}}
\newcommand{\bdot}{\textcolor{blue}{$\bullet$}}
\begin{tikzpicture}[inner sep=0pt,>=latex]
\node (W1) at (0,1) {\bdot};
\node (W2) at (1,1.8) {\bdot};
\node (W3) at (2,1) {\bdot};
\node (W4) at (1,0.2) {\bdot};
\node (A1) at (-1.1,1) {\rdot};
\node (A2) at (-2,2) {\rdot};
\node (A3) at (-2,0) {\rdot};
\node (B1) at (3.2,2) {\rdot};
\node (B2) at (3.2,0) {\rdot};
\draw [blue,->] (W1) to (W2);
\draw [blue,->] (W2) to (W3);
\draw [blue,->] (W3) to (W4);
\draw [blue,->] (W4) to (W1);
\draw [red,->] (A1) to (W1);
\draw [red,->,bend right=10] (A2) to (A1);
\draw [red,->,bend left=10] (A3) to (A1);
\draw [red,->,bend left=10] (B1) to (W3);
\draw [red,->,bend right=10] (B2) to (W3);
\end{tikzpicture}</math>
\(\endgroup\)
mehr... | 37131 Bytes mehr | 1 Kommentar | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Ein schwieriges Problem auf der IMO
Freigegeben von matroid am So. 08. Dezember 2019 08:36:17
Verfasst von trunx - (1653 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)
Auf der Wikipediaseite "Internationale Mathematik-Olympiade" werden die zwei schwersten Probleme genannt, die je auf einer IMO gestellt worden sind. Beide Aufgaben konnten nur von 11 Schülern gelöst werden, einmal (1986) bei insgesamt 210, das zweite Mal (1988) bei insgesamt 268 Teilnehmern.

Während für die erste dieser Aufgaben auch eine Lösung verlinkt wurde, habe ich für die zweite Aufgabe keine Lösung im Internet gefunden (aber auch nicht wirklich intensiv danach gesucht). Da es zudem hieß, dass weder die Mitglieder des Aufgabenausschusses noch von ihnen beauftragte Mathematiker des entsprechenden Fachgebietes (Zahlentheorie) die Aufgabe in 6h lösen konnten, war bei mir das Interesse geweckt.

Die Aufgabe lautete (siehe hier):

Let \(a\) and \(b\) positive integers such that \(ab+1\) divides \(a^2 +b^2\). Show that
\[\frac{a^2 +b^2}{ab+1}\] is the square of an integer.

(dt. lt. wikipedia: Sind \(a\) und \(b\) natürliche Zahlen, sodass \[c=\frac{a^2 +b^2}{ab+1}\] ebenfalls eine natürliche Zahl ist, ist c sogar eine Quadratzahl.)

Ich habe deutlich mehr als 6h für die Lösung gebraucht, aber es hat Spass gemacht. Daher, wer es selbst probieren will, macht jetzt besser den PC aus und rechnet!

Nachtrag: Die nachgelieferte Zuendeführung des angekündigten Beweises findet sich im nächsten Abschnitt in blauer Schrift. \(\endgroup\)
mehr... | 9236 Bytes mehr | 42 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


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