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| Mathematik: Rechnerische Hintergründe des Matrix-Begriffes und Herleitung des Matrizenproduk | Released by matroid on Mo. 28. August 2023 06:26:27
Written by Wario - (721 x read) | 
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Rechnerische Hintergründe des Matrix-Begriffes
und Herleitung des Matrizenproduktes
$\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix} =A$
In der Oberstufe oder im 1. Semester wird die Matrix zumeist als rechtecksförmiges Zahlen- bzw. Größenschema eingeführt; was sozusagen einer Nominaldefinition entspricht.
Einen operativen Sinn erhalten Matrizen durch das Matrizenprodukt, für welches das übliche Berechnungsverfahren für die Einträge der Produktmatrix (etwa $A\cdot B$), nach dem Prinzip $\text{Zeile}\times\text{Spalte},$ gelehrt wird. Das Matrixprodukt kann somit gewissermaßen als Realdefinition der Matrix selbst verstanden werden.
Im vorliegenden Artikel soll es um folgendes gehen:
· Eine Matrix stellt (lediglich) eine Kurzschreibweise dar, mit der eine weit elementarere Vektoroperation ausgedrückt werden kann, und zwar die Linearkombination, das ist eine spezielle Vektorsumme.
· Eine Linearkombination kann (als Definition) als Matrixprodukt $\text{Matrix} \times \text{Vektor} =\text{neuer Vektor}$ umgeschrieben werden.
· Das allgemeine Matrixprodukt $\text{Multiplikanden-Matrix} \times \text{Multiplikator-Matrix}
=\text{neue Matrix}$ kann aus dem zuvorgenannten Produkt $\text{Matrix} \times \text{Vektor}$ hergeleitet werden.
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 Mathematik: Alles ist trivial!
| Released by matroid on Mo. 15. November 2021 20:40:35
Written by Kezer - (1349 x read) | 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\C}{\mathscr{C}}
\newcommand{\D}{\mathscr{D}}
\newcommand{\A}{\mathbb A}
\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\LL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\variety}{\mathcal{V}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}
\newcommand{\sep}{\mathrm{sep}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}}
\newcommand{\Set}{\mathbf{Set}}
\newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
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\newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}
\newcommand{\Top}{\mathbf{Top}}
\newcommand{\map}{\operatorname{map}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}}
\newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}}
\newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}
\newcommand{\conv}{\mathrm{conv}}
\newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}}
\newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}}
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\KO}{\operatorname{KO}}
\newcommand{\BO}{\operatorname{BO}}
\newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}}
\newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}\)
Trivial.Heutzutage ist alles trivial. Der Professor behandelt ein Lemma und exklamiert bloß, dass es eine triviale Übungsaufgabe sei. Der Tutor meint, dass es nicht viel zu besprechen gibt, denn alle Aufgaben dieser Woche seien ziemlich trivial. Man liest ein beliebiges Paper, doch viele Aussagen darin seien sowieso trivial. In einer Unterhaltung zwischen Studenten hört man "das ist doch trivial!" "ich glaube das ist trivial!" "das ist trivial, oder?". Alles ist trivial.
Auf dem Matheplaneten ist auch alles trivial. Es ist trivial. Ich weiß nur noch nicht wieso.
\(\endgroup\)
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| Mathematik: Gemeinsames Wissen - oder: "Ich weiss, dass Du weisst, dass ich weiss..." | Released by matroid on Fr. 04. August 2023 06:55:03
Written by AnnaKath - (502 x read) | 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{F}{F_{\mu\nu} dx^{\mu} \wedge dx^{\nu} = A_{nu} dx^{\mu} \wedge dx^{\nu} + A_{\nu} A^{\mu} + A_{\mu} A^{\nu} - 2A_{\sigma}A^{\sigma}}\)
Agreeing to Disagree? Sicherlich kennt der ein oder andere Leser den Film "Ich weiss noch immer, was Du letzten Sommer getan hast". Über dessen Unterhaltungswert mag man trefflich streiten; eines jedoch beinhaltet der Titel, um das es auch in diesem Artikel gehen soll: Wissen. Eigenes Wissen, das anderer Akteure, sowie (eigene) Information über das Wissen der anderen.
Vielleicht war der ein oder andere Leser schon einmal in einer unfruchtbaren Besprechung, deren einziges Ergebnis von einem (wahrscheinlich in der Betriebswirtschaftslehre bewanderten) Teilnehmer mit "Let's agree to disagree" zusammengefasst wurde. Dies mag lustig erscheinen (oder sogar sein), ist aber keine Lösung eines konkreten Problems. Auch mit dieser Situation beschäftigt sich der Artikel - ein solches Ergebnis sollte (unter bestimmten Bedingungen) unmöglich sein.
Es soll ein Resultat (Aumanns Satz, siehe[Qi], sec.3 und [Au]) der Wirtschaftswissenschaften vorgestellt werden, dessen mathematischer Gehalt vielleicht überschaubar sein mag, das aber - zumindest in meinen Augen - einigen Unterhaltungswert besitzt. Grob und anschaulich formuliert besagt der Satz folgendes: "Verfügen alle Teilnehmer einer Besprechung über die gleiche Grundinformation und darüberhinaus gemeinsam über das Wissen der Einschätzungen möglicher Handlungsoptionen der anderen, dann sind die Einschätzungen notwendig gleich".
Zum weiteren Lesen benötigt man kaum mehr als ein wenig Menschenverstand, ggf. sollte man einige Begriffe der Spieltheorie kennen oder zumindest nachschlagen. Andererseits mag dieser Artikel andeuten, dass auch Wirtschaftswissenschaftler gelegentlich mit mathematischer Strenge vorgehen können und sogar zu einigermaßen interessanten Ergebnissen gelangen.
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| | mehr... | 12711 Bytes mehr | 7 Kommentare | | Mathematik |
| Mathematik: Mehrdimensionale Differentialrechnung - Teil III | Released by matroid on So. 25. Juni 2023 16:51:27
Written by nzimme10 - (388 x read) |
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Der Satz über implizite Funktionen Dies ist der dritte Teil einer Reihe von Artikeln über mehrdimensionale Differentialrechnung. Dieser dritte Teil setzt die im ersten und zweiten Teil begonnenen Untersuchungen fort.
Wir befassen uns hier ausschließlich mit dem Satz über implizite Funktionen. Den Umkehrsatz und weitere Anwendungen bzw. Verallgemeinerungen des Satzes werden wir in einem eigenen Artikel genauer betrachten.
\(\endgroup\)
| | mehr... | 34282 Bytes mehr | Kommentare? | | Mathematik |
| Mathematik: Mehrdimensionale Differentialrechnung - Teil II | Released by matroid on Do. 22. Juni 2023 17:35:01
Written by nzimme10 - (313 x read) |
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Mehrdimensionale höhere Ableitungen & der Satz von Taylor Dies ist der zweite Teil einer Reihe von Artikeln über mehrdimensionale Differentialrechnung. Dieser zweite Teil setzt die im ersten Teil begonnenen Untersuchungen fort.
Wir werden zunächst die partiellen Ableitungen noch einmal ausführlicher betrachten und anschließend auch koordinatenfrei die höheren mehrdimensionalen Ableitungen einführen. Das wird uns auf natürliche Weise zu einer mehrdimensionalen Version des Satzes von Taylor führen, der die Suche nach lokalen Extrema mehrdimensionaler Funktionen als wichtige Anwendung mit sich bringt.
\(\endgroup\)
| | mehr... | 50335 Bytes mehr | Kommentare? | | Mathematik |
| Mathematik: Vier- und fünfdimensionale Figuren in Projektionen und Schnitten | Released by matroid on Mi. 21. Juni 2023 17:00:29
Written by Roland17 - (286 x read) | 
\(\begingroup\)
Mit den heutigen mathematischen Zeichenprogrammen ist es möglich, Figuren, die mehr als drei Dimensionen haben, durch Projektionen in den und Schnitte im dreidimensionalen euklidischen Raum mit wenig Mühe wenigstens teilweise darzustellen und dadurch erahnbar zu machen. In den folgenden Beispielen wird dazu das Programm GNU Octave verwendet, welches kostenlos heruntergeladen werden kann. In Abbildung 1 wird zum Nachweis der Funktionsfähigkeit zunächst eine dreidimensionale Schwingung mit einem Schnitt in der x-y-Ebene bei z = 0 nebst dem verwendeten Programm dargestellt.
Abb. 1: 2D-Schnitt durch eine 3D-Figur, benannt „Knäuel“
Mit p wird der Azimutwinkel phi bezeichnet, mit t der Polarwinkel theta. Mit dem Befehl ‚idx‘ wird eine auswählende Bedingung formuliert, so dass anschließend nur die ausgewählten Punkte gezeichnet werden. Der „Schnitt“ ist eine dünne Schicht der Dicke 2a, wenn abs (z) < a gilt. Bei einem ‚plot‘- oder ‚plot3‘-Befehl werden alle (hier unter ‚linspace‘) definierten Punkte erfasst. Lässt man Koordinaten weg, entstehen folglich Projektionen, keine Schnittfiguren, s. Anhang Abb. 5.
Es folgt eine vierdimensionale Schwingung mit ihren Projektionen und Schnitten in den vier möglichen dreidimensionalen Unterräumen. Das Programm befindet sich im Anhang, Abb. 6.
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| Mathematik: Mehrdimensionale Differentialrechnung - Teil I | Released by matroid on Mo. 19. Juni 2023 21:06:10
Written by nzimme10 - (585 x read) |
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Die mehrdimensionale Ableitung Dies ist der erste Teil einer Reihe von Artikeln über mehrdimensionale Differentialrechnung. Dieser erste Teil beschäftigt sich mit der Verallgemeinerung der Ableitung aus Analysis I auf Funktionen mehrerer Veränderlicher (wie man so schön sagt). Eine Themenübersicht ist unter dieser Einleitung zu finden.
Geplante weitere Teile dieser Reihe werden sich dann unter anderem mit folgenden Inhalten befassen:
$\bullet$ Differentialformen vom Grad 1 auf $\mathbb R^n$, Integration solcher Differentialformen entlang Kurven & Anwendungen davon in der Physik (Vektoranalysis).
$\bullet$ Höhere Ableitungen (mit und ohne Koordinaten) & der Satz von Taylor.
$\bullet$ Der Satz über implizite Funktionen & der Umkehrsatz.
\(\endgroup\)
| | mehr... | 49984 Bytes mehr | Kommentare? | | Mathematik |
| buhs Montagsreport: Die KI* und buh – ein Match? | Released by matroid on Mo. 12. Juni 2023 00:00:02
Written by buh - (411 x read) | 
\(\begingroup\)
Die KI* und buh – ein Match?
Mein erstes Date mit ChatGPT
Berlin. Nachdem sich die Welt um mich herum wieder einmal unübersehbar verändert hatte und ich nicht schon wieder den "Tor des Jahres"** geben wollte, begab ich mich in der vergangenen Woche (ja, liebe Nerds, viel zu spät…) flugs an meinen Rechner, um mit der ChatGPT-Überintelligenz Schritt haltend in der Zukunft zu bleiben.
Außerdem hoffte ich, so man denn den Verheißungen diverser Artikel (von euphorisch bis dämonisch) glauben konnte, mir demnächst einiges an Arbeit bei der Verfertigung der Montagsreports sparen zu können – KI macht das schon.
Im Folgenden nun das Protokoll*** meines Dialogs mit ChatGPT am 07.06.2023:
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| | mehr... | 17657 Bytes mehr | 5 Kommentare | | buhs Montagsreport |
| Mathematik: Wohin zeigt die Magnetisierung in kubischen Kristallen? | Released by matroid on Fr. 28. April 2023 21:24:01
Written by Kornkreis - (458 x read) | 
\(\begingroup\)
Wohin zeigt die Magnetisierung in kubischen Kristallen?
Ein Anwendungsbeispiel für Ungleichungen zwischen symmetrischen Polynomen
In einem magnetischen Material kann es aufgrund von Anisotropie, die z.B. in kristallinen Materialien durch die anisotrope Kristallstruktur hervorgerufen wird, sogenannte leichte und schwere Achsen geben. Die Magnetisierung richtet sich bevorzugt entlang der leichten Achsen aus, wohingegen eine Ausrichtung entlang einer schweren Achse am ungünstigsten ist. Im Folgenden wird für das wichtige Beispiel kubischer Kristalle beschrieben, wie diese Achsen gefunden werden können. In der frühen Literatur zu diesem Thema wurde ohne Beweis angenommen, dass diese Achsen entlang der kubischen Hochsymmetrie-Richtungen liegen [1], was jedoch nicht immer der Fall ist, wie im Folgenden gezeigt wird. Andererseits wird in Lehrbüchern und Vorlesungen generell auf eine Herleitung dieser Achsen verzichtet [2]. Daher soll hier eine einfache und elementare Herleitung präsentiert werden, welche allein auf Ungleichungen zwischen symmetrischen Polynomen zurückgreift, die der Symmetrie dieses Problems angepasst sind. Der Artikel dient auch als praktisches Anwendungsbeispiel dieser Ungleichungen, die dem ein oder anderen Leser aus Lösungen von Mathematikolympiade-Aufgaben bekannt sein könnten. Für das Korrekturlesen dieses Artikels möchte ich mich herzlich bei MontyPythagoras bedanken!
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