Stern Mathematik: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
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Mathematik

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Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden

Ein Vergissfunktor ist etwas, was einen Teil der Struktur eines mathematischen Objektes "vergisst". Zwei typische Beispiele sind die unterliegende additive Gruppe eines Vektorraumes und die unterliegende Menge eines metrischen Raumes. Es ist gängige Praxis in Vorlesungen und vielen mathematischen Veröffentlichungen, diese Vergissfunktoren nicht weiter zu kennzeichnen oder sie sogar völlig zu ignorieren. Da ist dann etwa von der disjunkten Vereinigung von Ringen die Rede, obwohl man die disjunkte Vereinigung der unterliegenden Mengen meint, was wohl jedem mehr oder weniger klar sein wird. Bloß diese Unterscheidung zwischen den verschiedensten mathematischen Objekten ist wichtig und wird meiner Meinung nach durch eine fehlende oder zumindest inkonsequente Benutzung von Vergissfunktoren verwässert, was für etliche unnötige Verwirrungen und Extrabezeichnungen sorgt. Darum soll es in diesem mathematisch-philosophisch-kategorientheoretischen Artikel gehen.


1. Zwei Beispiele

Betrachten wir zunächst ein Beispiel. Ein metrischer Raum ist bekanntlich ein Paar <math>(X,d)</math>, bestehend aus einer Menge <math>X</math> und einer Abstandsfunktion <math>d : X \times X \to \mathbb{R}</math>, die gewissen Gesetzen genügt. Man nennt <math>X</math> die unterliegende Menge des metrischen Raumes <math>(X,d)</math>. Ganz wichtig: <math>X</math> ist nicht dasselbe wie <math>(X,d)</math>, auch wenn man üblicherweise zur Vereinfachung (oder eher zum Missbrauch) der Notation <math>(X,d)</math> mit <math>X</math> abkürzt. Eine Isometrie <math>f : (X,d) \to (X",d")</math> zwischen metrischen Räumen ist eine Abbildung <math>f : X \to X"</math> mit <math>d"(f(a),f(b))=d(a,b)</math> für alle <math>a,b \in X</math>. Man nennt <math>f : X \to X"</math> die unterliegende Abbildung von <math>f</math>. Hier ist der Unterschied zwischen der Isometrie und ihrer unterliegenden Abbildung vielleicht nicht so deutlich - er besteht vor allem darin, dass die Isometrie zwischen metrischen Räumen vermittelt, die unterliegende Abbildung allerdings nur zwischen Mengen ohne weitere Struktur. Insbesondere "weiß" die unterliegende Abbildung gar nicht, dass "sie" eine Isometrie ist, zumal das gar nicht formuliert werden kann, weil die unterliegenden Mengen ja gar keine metrischen Räume sind!

Nun ein Beispiel aus der Algebra: Jedem Ring <math>(R,+,0,*,1)</math> können wir seine unterliegende additive Gruppe <math>(R,+,0)</math> zuordnen. Auch hier gilt wieder: Diese stimmt nicht mit dem Ring überein, auch wenn beide üblicherweise zur Vereinfachung mit <math>R</math> bezeichnet werden, was aber eigentlich die unterliegende Menge des Ringes ist. Ein Homomorphismus von Ringen <math>f : (R,+,0,*,1) \to (S,+,0,*,1)</math> ist eine Abbildung <math>f : R \to S</math> zwischen den unterliegenden Mengen derart, dass <math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math>, <math>f(0)=0</math>, <math>f(x \cdot y)=f(x) \cdot f(y)</math> und <math>f(1)=1</math> für alle <math>x,y \in R</math> gilt. Aus den ersten beiden Gleichungen folgt, dass wir daraus einen Homomorphismus der unterliegenden additiven Gruppen <math>f : (R,+,0) \to (S,+,0)</math> erhalten. Auch hier gilt: Dieser stimmt nicht mit dem Homomorphismus von Ringen überein (auch wenn das viele nicht glauben werden). Das würde auch gar keinen Sinn ergeben, weil diese Homomorphismen in verschiedenen "Welten" leben.

Es wäre also sinnvoll, diesen unterliegenden Objekten Namen zu geben. Üblicherweise benutzt man dafür die Buchstaben <math>U,V,W</math>. Zum Beispiel ist <math>U(R)</math> die unterliegende additive Gruppe des Ringes <math>R</math>, das ist eine abelsche Gruppe, und <math>U(f) : U(R) \to U(S)</math> ist der unterliegende Homomorphismus abelscher Gruppen für einen Homomorphismen von Ringen <math>f : R \to S</math>. Dann müssen wir nun auch nicht mehr die Operationen <math>+,*</math> etc. in der Notation mitschleppen, sondern bezeichnen mit <math>R</math> tatsächlich den Ring, und verwechseln ihn nicht mit seiner unterliegenden Menge, weil das einer ganz andere Sorte oder auch Kategorie von mathematischen Objekten angehört. Ähnlich haben wir einem metrischen Raum <math>X</math> seine unterliegende Menge <math>V(X)</math> zugeordnet und jeder Isometrie <math>f : X \to Y</math> ihre unterliegende Abbildung <math>V(f) : V(X) \to V(Y)</math>. Weil der Zeichenvorrat begrenzt ist, kann und wird man diese unterliegenden Objekte und Morphismen nicht immer mit Buchstaben kennzeichnen (es sei denn, man ist an ihnen direkt interessiert), was leider oft dazu führt, dass wir diesen Prozess vergessen.

2. Der Begriff des Vergissfunktors

Was ist ein Vergissfunktor allgemein? Darauf gibt es keine einheitliche Antwort. Wie schon in der Einleitung erklärt, ist dies etwas, was einen Teil der Strukur eines mathematischen Objektes vergisst und die verbliebende Struktur ausgibt. Dasselbe sollte für Morphismen zwischen ihnen gelten. Um das präzise zu fassen, brauchen wir die Grundbegriffe der Kategorientheorie. Dazu gibt es auf dem Matheplaneten eine Artikelreihe. Zentral sind die Begriffe von Kategorien und Funktoren.

Wir haben oben einen Funktor <math>V : \mathsf{Met} \to \mathsf{Set}</math> konstruiert, von der Kategorie der metrischen Räume mit Isometrien als Morphismen in die Kategorie der Mengen mit Abbildungen als Morphismen, außerdem einen Funktor <math>U : \mathsf{Ring} \to \mathsf{Ab}</math> von der Kategorie der Ringe in die Kategorie der abelschen Gruppen (die Morphismen muss man nicht benennen, wenn sie klar sind). Beiden Funktoren ist die Eigenschaft gemein, dass die auf den Hom-Mengen induzierte Abbildung <math>\hom(R,S) \to \hom(U(R),U(S))</math> injektiv ist. Das motiviert nun:

Definition. Ein Funktor <math>U : \mathcal{C} \to \mathcal{D}</math> zwischen zwei Kategorien heißt ein Vergissfunktor, wenn er treu ist, d.h. für alle Objekte <math>X,Y \in \mathcal{C}</math> die Abbildung <math>\hom(X,Y) \to \hom(U(X),U(Y))</math> injektiv ist.

Beispiele

<math>\bullet</math> Die bereits behandelten Vergissfunktoren <math>\mathsf{Met} \to \mathsf{Set}</math> und <math>\mathsf{Ring} \to \mathsf{Ab}</math>.
<math>\bullet</math> Vergisst man die Addition eines Ringes, erhält man einen Vergissfunktor <math>\mathsf{Ring} \to \mathsf{Mon}</math> in die Kategorie der Monoide.
<math>\bullet</math> Vergisst man die Topologie eines topologischen Raumes, erhält man einen Vergissfunktor <math>\mathsf{Top} \to \mathsf{Set}</math>.
<math>\bullet</math> Vergisst man die Kommutativität einer abelschen Gruppe, so erhält man einen Vergissfunktor <math>\mathsf{Ab} \to \mathsf{Grp}</math>.
<math>\bullet</math> Ganz ähnlich funktioniert der Vergissfunktor <math>\mathsf{CRing} \to \mathsf{Ring}</math>, der die Kommutativitität eines kommutativen Ringes vergisst.
<math>\bullet</math> Vergisst man die Norm eines Banachraumes, erhält man einen Vergissfunktor <math>\mathsf{Ban} \to \mathsf{Vect}_{\mathds{C}}</math>. Vergisst man sogar noch die Vektorraumstruktur, so erhalten wir einen Vergissfunktor <math>\mathsf{Ban} \to \mathsf{Set}</math>.
<math>\bullet</math> Weil ein Morphismus von Banachräumen bereits durch sein Verhalten auf der Einheitskugel eindeutig bestimmt ist, liefert die Einheitskugel einen weiteren Vergissfunktor <math>\mathsf{Ban} \to \mathsf{Set}</math> (diese verhält sich aus gewissen Gründen besser als der erste).
<math>\bullet</math> Vergisst man die Lieklammer einer Liealgebra über <math>K</math>, erhält man einen Vergissfunktor <math>\mathsf{Lie} \to \mathsf{Vect}_K</math>.

Siehe Wikipedia sowie nlab für mehr zum Begriff des Vergissfunktors (der wie gesagt nicht einheitlich ist). Beim nlab wird sogar (begründet) die recht radikale Auffassung vertreten, dass jeder Funktor ein Vergissfunktor ist. Es wird dann danach unterschieden, was vergessen wird.

3. Warum wir nicht vergessen dürfen

Die Mathematik ist in verschiedene Gebiete eingeteilt. Einen großen Reiz machen die Querverbindungen zwischen diesen Gebieten aus. Ebenso sind die mathematischen Objekte in Kategorien eingeteilt, und es ist interessant, zwischen diesen Kategorien eine Brücke zu schlagen, etwa durch Funktoren oder spezieller Adjunktionen. Es sollte aber immer klargemacht werden, in welcher Kategorie man gerade arbeitet und bezüglich welcher Funktoren sie miteinander verglichen werden, selbst dann wenn es sich um so harmlose Vergissfunktoren wie etwa <math>\mathsf{Ab} \to \mathsf{Grp}</math> handelt.

Konstruktionen

Einer von zahlreichen Gründen ist der folgende: Viele Konstruktionen hängen - vor allem - von der umgebenden Kategorie ab. So ist das Koprodukt von einer Familie von Gruppen etwa, leider auch als freies Produkt bekannt, selbst wenn die beteiligten Gruppen abelsch sind, etwas völlig anderes als das Koprodukt der zugehörigen abelschen Gruppen, üblicherweise als direkte Summe bekannt. Es lohnt sich daher, abelsche Gruppen und Gruppen, die "zufälligerweise" abelsch sind, voneinander zu unterscheiden! Der Vergissfunktor <math>\mathsf{Ab} \to \mathsf{Grp}</math> sollte nicht mit einer Inklusion bzw. einer Unterkategorie verwechselt werden. Noch ein krasses Beispiel: <math>2 : \mathds{Z} \to \mathds{Z}</math> ist ein Epimorphismus in der Kategorie der torsionsfreien Gruppen, aber natürlich nicht in der Kategorie aller Gruppen!

Im allgemeinen sollten Inklusionen überhaupt vermieden und durch richtige Injektionen bzw. hier Vergissfunktoren ersetzt werden. Im Gegensatz zu Inklusionen müssen Vergissfunktoren nicht miteinander kommutieren. Betrachten wir etwa die Komposition der Vergissfunktoren <math>\mathsf{Ring} \to \mathsf{Ab} \to \mathsf{Mon}</math>, die zunächst die multiplikative Struktur und dann die additiven Inversen vergessen. Dies sollte nicht mit dem Vergissfunktor <math>\mathsf{Ring} \to \mathsf{Mon}</math> verwechselt werden, welcher die additive Struktur vergisst! Es gibt also (mindestens) zwei Vergissfunktoren <math>\mathsf{Ring} \to \mathsf{Mon}</math>, und jeder davon hat seine eigene Berechtigung.

In der Praxis werden Vergissfunktoren meistens ignoriert und das führt zu Verwirrungen. Zum Beispiel trifft man manchmal die "direkte Summe" <math>R \oplus S</math> von zwei Ringen <math>R,S</math> an. Was soll das sein? Die direkte Summe ist zunächst nur für die unterliegenden additiven Gruppen definiert. Okay, dann meint man wohl einen Ring mit <math>U(R \oplus S) = U(R) \oplus U(S)</math>, aber was ist die Multiplikation? Üblicherweise nimmt man die Multiplikation <math>(r,s) (r",s") = (rr",ss")</math>. Allerdings ist diese "direkte Summe" dann doch nichts anderes als das gewöhnliche direkte Produkt <math>R \times S</math>, was sogar das Produkt in der Kategorie der Ringe ist. Wieso denkt man sich hier eine zusätzliche Notation aus? Und wenn <math>(R_i)_{i \in I}</math> eine unendliche Familie von Ringen ist, so meint man mit <math>\oplus_{i \in I} R_i</math> nicht das Koprodukt der Ringe <math>R_i</math>, wie es die Notation ja nahegelegt, sondern wieder einen Ring mit <math>U(\oplus_{i \in I} R_i) = \oplus_{i \in I} U(R_i)</math> und der komponentenweisen Multiplikation. Beachte aber, dass diese Konstruktion gar nicht in der Kategorie der Ringe funktioniert, sondern in der Kategorie der nicht-unitalen Ringe! Außerdem sollte es nicht die direkte Summe, sondern zum Beispiel die orthogonale direkte Summe der <math>R_i</math> genannt werden, weil <math>R_i \cdot R_j = 0</math> für <math>i \neq j</math> gilt. Siehe auch meine Ausführungen bei math.SE/345501.

Endlichkeitsbedingungen

Bei Eigenschaften mathematischer Objekte werden Vergissfunktoren auch gerne unter den Tisch gekehrt. Da haben wir etwa den Begriff einer endlich-dimensionalen <math>K</math>-Algebra. Das ist per Definition eine <math>K</math>-Algebra, deren unterliegender <math>K</math>-Vektorraum endlich-dimensional ist. Dabei bedeutet es doch wörtlich eine <math>K</math>-Algebra, die als solche endlich-dimensional ist, und tatsächlich gibt es einige Dimensionsbegriffe für <math>K</math>-Algebren. Eine endliche Gruppe ist eigentlich eine Gruppe, deren unterliegende Menge endlich ist. Und was ist eine endliche <math>R</math>-Algebra? Das wird öfters als eine <math>R</math>-Algebra definiert, deren unterliegender <math>R</math>-Modul endlich-erzeugt ist. Eine endlich-erzeugte <math>R</math>-Algebra ist dagegen eine <math>R</math>-Algebra, die tatsächlich als <math>R</math>-Algebra endlich-erzeugt ist. Es ist meiner Meinung nach absolut inkonsistent und stiftet nur Verwirrung, für jede spezielle Situation einen neuen Begriff zu erfinden, um die Anwendung von Vergissfunktoren zu verheimlichen.

Morphismen

Dasselbe betrifft übrigens Morphismen. Es gibt eigentlich keine bijektiven Homomorphismen zwischen Gruppen, Ringen etc., sondern lediglich Homomorphismen, deren unterliegende Mengenabbildungen bijektiv sind. Aber diese sind in der Regel ohnehin völlig uninteressant, wieso redet man also nicht gleich von Isomorphismen? Das Beispiel <math>\mathsf{Top} \to \mathsf{Set}</math> zeigt, dass ein "bijektiver Morphismus" nicht unbedingt ein Isomorphismus sein muss, bei algebraischen Strukturen ist das allerdings so. An dieser Stelle sei auch noch vermerkt, dass "injektive Homomorphismen" nichts mit Monomorphismen und "surjektive Homomorphismen" nichts mit Epimorphismen zu tun haben, siehe auch hier. In den ersten Semestern wird diese Sichtweise den Studenten trotzdem eingetrichtert, was sie dann später wieder korrigieren müssen. Die meisten wissen aber bis zum Ende ihres Studiums nicht, dass das Wesen eines Isomorphismus nicht die Bijektivität, sondern die Umkehrbarkeit ist, und rechnen schön brav Injektivität und Surjektivität nach. Wieso hat es sich die Lehre zur Aufgabe gemacht, die Mathematik systematisch zu verunstalten?

Ein Vorschlag

Warum sollten wir uns damit zufrieden geben? Es wäre doch viel klarer, wenn man immer dazusagt, in welcher Kategorie man sich gerade befindet. Und um dies umzusetzen, wäre es am einfachsten, wenn jedes mathematische Objekt, egal welcher Art, genau einer Kategorie angehört, und dass diese Kategorie für immer unverändert bleibt. Jedes Objekt sollte einer festen Gattung angehören. Entsprechendes für Morphismen.

Zum Beispiel ist <math>\mathds{C}</math> ein Körper, der Körper der komplexen Zahlen. Es ist kein <math>\mathds{R}</math>-Vektorraum, keine Menge, keine Gruppe, sondern eben ein Körper und nichts anderes. Wenn wir von dem unterliegenden <math>\mathds{R}</math>-Vektorraum sprechen möchten, dann müssen wir das auch sagen. Die fragwürdige Isomorphie <math>\mathds{C} \cong \mathds{R}^2</math> ergibt keinen Sinn, weil eben <math>\mathds{R}^2</math> ein <math>\mathds{R}</math>-Vektorraum ist und <math>\mathds{C}</math> ein Körper ist - wir können aber nicht Objekte verschiedener Kategorien miteinander vergleichen. Was also eigentlich gemeint ist, ist die Isomorphie zwischen <math>\mathds{R}^2</math> und dem <math>\mathds{R}</math>-Vektorraum, dem <math>\mathds{C}</math> zugrunde liegt. Üblicherweise wird so formuliert, dass es eine <math>\mathds{R}</math>-lineare Bijektion <math>\mathds{C} \to \mathds{R}^2</math> gibt. Das ist schon besser als die bloße Formel <math>\mathds{C} \cong \mathds{R}^2</math>, unterschlägt aber immer noch die Anwendung des Vergissfunktors und ist daher nicht in Ordnung. Übrigens, spätestens bei dem Vergleich zwischen reeller und komplexer Differenzierbarkeit rächt sich die Identifikation von <math>\mathds{R}^2</math> mit <math>\mathds{C}</math>.

Was man hier einräumen muss, ist dass es einfach die Notation überladen würde, für die Objekte, die von Vergissfunktoren aufeinander abgebildet werden, verschiedene Bezeichner zu verwenden. Insofern ist es schon okay, wenn man mit <math>\mathds{C}</math> auch den unterliegenden <math>\mathds{R}</math>-Vektorraum bezeichnet, allerdings sollte dann aus dem Kontext klar werden, dass man sich gerade in dieser Kategorie befindet. Genauso wollen wir etwa auch die entsprechende <math>C^*</math>-Algebra mit <math>\mathds{C}</math> bezeichnen, obwohl es sich wie gesagt um ein anderes Objekt in einer anderen Kategorie handelt: eine <math>C^*</math>-Algebra weiß nichts von multiplikativen Inversen, und ein Körper weiß nichts von einer Involution (in diesem Fall der komplexen Konjugation).

Ringe mit oder ohne Eins?

Für mich haben Ringe stets eine Eins, und Ringe ohne Eins heißen Rnge oder auch nicht-unitale Ringe. Dass der Vergissfunktor <math>\mathsf{Ring} \to \mathsf{Rng}</math>, der einem Ring (mit Eins) den unterliegenden Rng zuordnet, das heißt die Eins vergisst, ständig ignoriert wird, führt dazu, dass bis heute beim Begriff eines Ringhomomorphismus keine Klarheit darüber herrscht, ob der nun die Eins (wenn es eine gibt) erhalten soll oder nicht. Das muss jeder Autor erneut klären, anstatt dass es ein und für alle mal konsequent gemacht wird: Ein Homomorphismus von Ringen ist nur zwischen Ringen definiert und erhält natürlich per Definition die Eins. Wenn man nicht möchte, dass die Eins erhalten wird, handelt es sich in Wahrheit um den unterliegenden Homomorphismus der unterliegenden Rnge - man könnte also kurz und knapp von einem Rng-Homomorphismus sprechen. Das ähnliche immer wiederkehrende Problem, ob nun ein Unterring die Eins enthalten soll oder nicht, wird ganz ähnlich aufgelöst. Siehe dazu MP/168033 und MP/161169.

Als letztes Beispiel, was mich vor allem zu diesem Artikel angeregt hat: Ist <math>N</math> eine nicht-unitale <math>R</math>-Algebra, so können wir zu dieser eine Eins hinzufügen, d.h. sie unitalisieren: Der unterliegende <math>R</math>-Modul ist <math>R \oplus N</math> bzw. noch genauer: die direkte Summe des unterliegenden <math>R</math>-Moduls des Ringes <math>R</math> und des unterliegenden <math>R</math>-Moduls der <math>R</math>-Algebra <math>N</math>. Die Multiplikation ist <math>(r \oplus n) \cdot (r" \oplus n") = rr" \oplus (rn" + r"n + nn")</math>. Die hinzugefügte Eins ist <math>(1,0)</math>. In der Theorie der formalen Gruppen ist es üblich, (nilpotente) nicht-unitale <math>R</math>-Algebren mit ihren zugehörigen Unitalisierungen zu identifizieren, aber ebenso <math>R</math>-Moduln als nicht-unitale <math>R</math>-Algebren aufzufassen, nämlich mit der Nullmultiplikation. Wenn in einem Text nun aber das Objekt <math>R</math> auftritt (etwa bei der Definition des Tangentialraumes einer formalen Gruppe), ist das dann a) <math>R</math> als <math>R</math>-Modul wie üblich, b) <math>R</math> als nicht-unitale <math>R</math>-Algebra mit der Nullmultiplikation, c) <math>R</math> als <math>R</math>-Algebra wie üblich, oder d) die Unitalisierung von b), also letzlich <math>R[T]/(T^2)</math>? Das ist einfach nur verwirrend. Dabei könnte man dies so leicht vermeiden, indem man die Kategorie der <math>R</math>-Moduln nicht in die Kategorie der nicht-unitalen <math>R</math>-Algebren einbettet, und auch nicht diese in die Kategorie der unitalen <math>R</math>-Algebren einbettet, sondern jeweils die auftretenden Funktoren als solche anerkennt und nicht einfach unter den Tisch kehrt.

Zusammenfassung

Ich könnte noch viele weitere Beispiele nennen, aber möchte an dieser Stelle einmal das folgende Bild als Zusammenfassung bringen, wobei ich nur ein paar Vergissfunktoren eingezeichnet habe.



Verschiedene Kategorien sind "disjunkt", das heißt jedes Objekt und jeder Morphismus gehört genau einer festen Kategorie an. Um Kategorien miteinander zu vergleichen, brauchen wir Funktoren. Selbst Vergissfunktoren sind keine Einbettungen, die Kategorien bleiben nach wie vor disjunkt. Ich würde diese Sichtweise gerne verbreiten. Wie gesagt können unnötige Verwirrungen verhindert und Bezeichnungen vereinfacht werden. Und für mich macht sie große Teile der Mathematik noch viel klarer, weil einfach jedes Objekt seinen festen Platz hat und nicht versteckt "herumgereicht" wird. Und was die Lehre angeht: Man muss ja nicht gleich im ersten Semester mit Kategorientheorie anfangen, aber man kann ruhig zwischen einem Vektorraum und seiner unterliegenden Menge sprachlich unterscheiden.

4. Die Mengenleere

Alles ist Menge?

"Alles ist Zahl!", dieses Motto sagt man den Pythagoreern nach. Mehr als zwei Jahrtausende später hat Georg Cantor beziehungsweise noch einige Jahre später die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre sozusagen "Alles ist Menge!" verkündet. Ich bin der festen Überzeugung, dass diese Sichtweise der modernen Mathematik schon seit über 100 Jahren nicht mehr gerecht wird. Wir haben ja bereits oben gesehen, dass die verschiedenen Kategorien als unabhängig von <math>\mathsf{Set}</math> betrachtet werden sollten. Ein mathematisches Objekt ist mehr als nur eine strukturierte Menge. Homotopietypen etwa passen in dieses Bild gar nicht rein. Davon abgesehen, sollte es doch jedem einleuchten, dass es keinen Sinn ergibt, die Vereinigung <math>\pi \cup \mathds{Z}</math> zu bilden? (Hierbei ist <math>\pi</math> als eine Äquivalenzklasse von Cauchyfolgen ebenfalls eine Menge, und <math>\mathds{Z}</math> ist ebenfalls eine Menge, sodass deren Vereinigung existiert.) Es gibt mittlerweile neue Grundlegungen der Mathematik, welche viel besser die verschiedenen Strukturen und die typischen Operationen der Mathematik einfangen, allen voran eben die Kategorientheorie, deren Sprache primär aus Objekten, Morphismen und der Komposition von Morphismen besteht. Die Mengenlehre mit ihrer minimalistischen Elementrelation <math>\in</math> fängt das eigentlich nicht so gut ein. Sogar in konkreten Situationen machen Elementrechnungen alles nur unnötig kompliziert, siehe etwa hier (oder eine beliebige Algebra-Vorlesung).

ETCS

Der Unterschied ist bereits an der Kategorie der Mengen zu sehen, dafür verweise ich auf den hervorragenden Artikel Rethinking set theory von Tom Leinster. Fortgeschrittene Leser können auch direkt in Lawveres ETCS einsteigen (Elementary Theory of the Category of Sets). Wie schon bei ZF spielt es bei ETCS keine Rolle, was Mengen sind, sondern wie wir damit umgehen können. Kategorielle Konstruktionen sind meistens viel natürlicher als mengentheoretische Konstruktionen, aber funktionieren eben auch über die Kategorie der Mengen hinaus. Um es platonistisch auszudrücken: Mit Hilfe der Kategorientheorie können wir unter anderem erkennen, dass Konstruktionen, die vom Standpunkt der Mengenlehre unterschiedlichen Charakter haben, in Wahrheit ein und dasselbe sind. Und dass die Mathematik in Wahrheit in der Sprache der Kategorientheorie geschrieben ist, nicht in der Mengenlehre. Das gilt sowohl für die reine als auch für die angewandte Mathematik. Ich empfehle dazu einen Besuch im n-café.

Internalisierung

Schließlich möchte ich noch etwas zum Thema Internalisierung sagen (siehe auch n-lab). Es ist zwar richtig, dass die Kategorie der Mengen eine zentrale Rolle spielt, weil eben viele mathematische Konstruktionen zunächst einmal etwas mit Mengen zu tun haben. Das ist allerdings eine Illusion: Oftmals kann man die Kategorie der Mengen ersetzen durch eine beliebige gutartige Kategorie ggf. mit Zusatzstrukturen. Das ist im Prinzip auch der ursprüngliche Gedanke von Grothendiecks Topos-Theorie, die zwar für die algebraische Geometrie entwickelt worden ist, sich dann aber als eine universelle und vereinheitlichende Theorie herausgebildet hat. Siehe dazu auch die Arbeiten von Olivia Caramello. Den Vorgang, in einer gängigen Konstruktion von der Kategorie der Mengen zu abstrahieren, nennt man Internalisierung. Zum Beispiel lassen sich Monoidobjekte innerhalb einer beliebigen Kategorie mit Produkten erklären, oder gar einer beliebigen monoidalen Kategorie. Auf diese Weise erkennen wir Monoide, Ringe, topologische Ringe, Geringte Räume, Algebren, Monaden, H-Räume, und viele weitere Begriffe als Spezialfälle ein und desselben Begriffes, nämlich des Monoidobjekts. Fast die gesamte kommutative Algebra lässt sich in einer beliebigen kovollständigen symmetrischen monoidalen Kategorie internalisieren. Und das ist lediglich eines von etlichen Beispielen. Internalisierung geschieht also eigentlich ständig und ist sehr nützlich. Und dabei verschwindet auch allmählich die unzeitgemäße Vormachtstellung der Kategorie der Mengen.



Ich wundere mich immer wieder, warum sich die kategorielle Sichtweise auf die Mathematik noch nicht durchgesetzt hat und in der Lehre komplett ignoriert wird. Vielleicht können wir in den Kommentaren noch weiter über dieses Thema diskutieren, gerade weil es sich um ein recht sensibles Thema handelt, bei dem mir sicherlich nicht alle zustimmen werden.

Ich bedanke mich bei Dune fürs Korrekturlesen.
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"Stern Mathematik: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden" | 18 Comments
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Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 18. Dezember 2013 13:45:53
\(\begingroup\)
Du kämpfst gegen Windmühlen.\(\endgroup\)
 

Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: KidinK am: Mi. 18. Dezember 2013 16:22:12
\(\begingroup\)
Sehr schön zu lesen,

vor allem weil das meiste auf einem Niveau war, das ich verstehen konnte. Ich würde ja echt gerne mal eine Vorlesung Algebra bei dir hören und praktisch sehen, wie deine Forderungen umzusetzen sind ;)

Liebe Grüße,
KidinK\(\endgroup\)
 

Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: Martin_Infinite am: Mi. 18. Dezember 2013 17:59:17
\(\begingroup\)
@Anonymous: Ja vielleicht :/
@KidinK: Ja ich würde das auch gerne einmal praktisch umsetzen :), aber ich bin sehr zuversichtlich. Die Überschrift ist kein Verschreiber, sondern ein wenig Sarkasmus.

Mir ist noch ein Beispiel eingefallen: Wenn <math>f : X \to Y</math> ein Morphismus von Schemata ist, so denkt "man" beim "Bild von <math>f</math>" eigentlich an das Bild der unterliegenden Mengenabbildung <math>|f| : |X| \to |Y|</math>. Das ist ein ganz typisches Beispiel dafür, dass das reflexartige Anwenden von Vergissfunktoren antrainiert und zugleich unbewusst ist. Aber auch unnütz, denn eigentlich ist man eher am schema-theoretischen Bild interessiert, was wirklich vom Morphismus und nicht nur von der unterliegenden Mengenabbildung abhängt. Aber das könnte man, wenn man meinen Vorschlag durchsetzt, einfach das Bild von <math>f</math> nennen. Ich finde das viel natürlicher. Und das ist wieder einmal nur ein Beispiel, für Morphismen von Banachräumen gibt es ja eine ähnliche Geschichte (hier ist das Bild als Abschluss des unterliegenden Bildes konstruiert).\(\endgroup\)
 

Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: matroid am: Mi. 18. Dezember 2013 23:26:09
\(\begingroup\)
Ein Vergissfunktor ist vergleichbar einer Projektion auf eine niedere Dimension.
Man muss sich schon klar sein, ob man die Blume meint oder ihren Schatten. Wenn man das, an Stellen wo es nötig ist, sauber auseinanderhält, ist das bestimmt gut. Ansonsten gilt in der Mathematik oft ein Kontextbezug, durch den dem Leser überlassen wird, sich klar darüber zu sein, was mit f oder R gerade gemeint ist. Dies jeweils zu wissen, ist ein wichtiger Teil des Mathematik-Verständnisses. Wenn das Ziel nur ist, diese Verstehensschwelle zu senken ...?

Welche Erkenntnisse lassen sich denn ableiten aus Projektionen?

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: Ex_Mitglied_4018 am: Do. 19. Dezember 2013 23:15:30
\(\begingroup\)
Du sagst ja selber, dass der Uebergang von "alles ist Zahl" zu "alles ist Menge" Jahrtausende gedauert hat. Bis die Kategorientheorie einen Stellenwert wie die Mengenlehre erreicht hat, muss noch lange Zeit vergehen, zumal sich die Theorie immer weiter entwickelt, wie du angedeutet hast.

Es ist schwer, jemanden die Vorzuege der Theorie zu vermitteln, wenn er damit nicht "aufgewachsen" ist und es ist in diesem Fall kontraproduktiv, ihm diese Sichtweise aufzuzwingen. Es ist ungefaehr genau so schwer wie z.B. einem BWLer die Vorzuege von LaTeX nahebringen zu wollen (was ich tatsaechlich schon einmal versucht habe). Mit Word funktioniert doch alles, was man braucht. Warum so etwas Kompliziertes lernen, wenn man am Ende das gleiche Resultat erhaelt?\(\endgroup\)
 

Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: Caldo am: Fr. 20. Dezember 2013 14:04:44
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Starker Artikel, Martin!
Hat mir gefallen. Bin dieses Semester wieder für "Ersties" ein Tutor in LinAlg und versuche im Rahmen deren Verständnismöglichkeiten immer wieder genau auf das hinzuweisen. Aber auch das wird sich nur als Tropfen auf den heißen Stein rausstellen... ;)\(\endgroup\)
 

Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: andreasruedinger am: Fr. 20. Dezember 2013 15:59:30
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Sehr geehrter Martin_Infinite,

da ich Ihren Namen bzw. Ihre E-Mail-Adresse nicht sehen und nicht eruieren kann, möchte ich mich Ihnen als Programmplaner Mathematik bei Springer Spektrum vorstellen und auf diesem Weg anfragen, ob Sie Interesse haben, ein einführendes und gut verständliches deutschsprachiges Werk zur Kategorientheorie zu verfassen.

Ich bin auf Ihren oben stehenden Beitrag aufmerksam geworden und auch in früheren Zeiten auf andere Beiträge von Ihnen. Meiner Einschätzung fehlt ein gutes einführendes deutschsprachiges Werk  zur Kategorientheorie mit vielen Beispielen und Verzahnungen und ausführlichen Erklärungen.

Wenn Sie hieran Interesse haben, melden Sie sich gerne bei mir unter andreas.ruedinger@springer.com.

Mit besten Weihnachtswünschen

Andreas Rüdinger  

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Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: Martin_Infinite am: Fr. 20. Dezember 2013 19:40:11
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Sehr geehrter Herr Rüdinger,

in deutscher Sprache fehlt es eigentlich in jedem Bereich an Lehrbüchern. Ich habe das bisher nicht so sehr als Defizit gesehen. Zur Kategorientheorie habe ich aber auf die Schnelle die Bücher "Elemente der Kategorientheorie" von Dieter Pumplün, "Kategorien und Funktoren" von Bodo Pareigis, "Kategorien I/II" von Horst Schubert, "Kategorien und Automaten" von Hartmut Ehrig, Michael Pfender et al, "Theorie der Kategorien" von M. Hasse, L. Michler sowie "Einführung in die Theorie der Kategorien und Funktoren" von Z. Semadeni und A. Wieweger gefunden. Es gibt außerdem eine deutsche Übersetzung vom Klassiker von MacLane, "Kategorien: Begriffssprache und mathematische Theorie".
 
Man kann also nicht sagen, dass es einen Mangel an deutschen Lehrbüchern zur Kategorientheorie gibt. Was allerdings auffällig ist: Diese Bücher sind allesamt 40 Jahre alt - mit Ausnahme von dem Buch von Dieter Pumplün, welches 1999 erschienen ist. In den 60er Jahren gab es anscheinend ein noch viel größeres Interesse an Kategorientheorie. Man könnte also an eine Aktualisierung denken. Vielleicht können Sie einmal schauen, ob diese Bücher vielleicht nicht schon den von Ihnen genannten Ansprüchen gerecht werden, das heißt viele Beispiele, Verzahnungen und ausführliche Erklärungen enthalten. Wenn das nicht der Fall sein sollte, komme ich gerne auf das Angebot zurück. Eine E-Mail ist bereits unterwegs.\(\endgroup\)
 

Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 20. Dezember 2013 21:23:05
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Sehr geehrter Martin_Infinite,

besten Dank für Ihre rasche Antwort und für die Hinweise auf die deutschsprachigen Werke. Aktualität ist ein Aspekt; mir geht es aber insbesondere um ein für die heutigen Mathematik-Studierenden zugängliches Werk, auch hinsichtlich der didaktischen Aufbereitung. Ich möchte von den Kommentaren oben auf "vor allem weil das meiste auf einem Niveau war, das ich verstehen konnte." von KidinK verweisen (und mir geht es ebenso).
Ich danke Ihnen für Ihre E-Mail und werde Ihnen darauf gleich antworten.

Mit besten Grüßen
Andreas Rüdinger


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Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: Martin_Infinite am: Fr. 31. Januar 2014 00:27:47
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Ein ziemlich schlimmer Fall des Vergessens: <math>k[x]^* \stackrel{???}{=} k[[x]]</math>, gefunden math.SE/657474.

Nun möchte ich aber auch kurz auf die anderen bisherigen Kommentare antworten:

@matroid: Das Bild ist gar nicht so verkehrt, schön!
@Zaos: Vielen Dank für diesen Kommentar. Vermutlich hast du recht.
@Caldo: Freut mich, dass du es versuchst!\(\endgroup\)
 

Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: Martin_Infinite am: Do. 27. November 2014 12:08:12
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Noch so ein Fall des Vergessens: Wenn <math>M,N</math> graduierte <math>S</math>-Moduln sind (mit <math>S</math> graduierter Ring), dann bezeichnet man oft mit <math>\hom(M,N)</math> die Menge der Homomorphismen der unterliegenden <math>S</math>-Moduln (warum bloß?). Und mit <math>S</math>-Moduln meint man eigentlich <math>T</math>-Moduln, wobei <math>T</math> der unterliegende Ring von <math>S</math> ist. Wenn man Vergissfunktoren nicht vergessen würde, dann wäre <math>\hom(M,N)</math> die Menge der graduierten Homomorphismen und <math>S</math>-Moduln wären per Definition genau das, was üblicherweise als graduierte <math>S</math>-Moduln bezeichnet wird.\(\endgroup\)
 

Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: kurzefrage9 am: So. 15. Februar 2015 23:36:33
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Hi Martin,

ich habe von Natur aus ein immenses Problem damit, wenn etwas ungenau  geschieht. Ich studiere seit diesem Semester Mathematik, und in dieser Zeit konnte ich häufig nur Verwunderung bei meinen Tutoren und Kommilitonen feststellen, wenn ich mich über die dauernden Ungenauigkeiten im Skript, in der Literatur und insbesondere auf den Übungszetteln beschwerte.

Leider gibt es nur wenige, die dafür ein Verständnis aufbringen können. Den meisten, so denke ich, geht es gar nicht darum, alles genau zu verstehen und vollkommen zu durchdringen. Wahrscheinlich bedingt durch den eigenen Willen, den eigenen Charakter, und gewissermaßen auch durch die eigenen (intellektuellen) Grenzen.

Ich frage mich oft, wie schön es doch wäre, wenn ich nicht zuerst bei jedem neu ausgeteilten Übungszettel mehr Zeit in das Entschlüsseln des Gemeinten als in das tatsächliche Auseinandersetzen und Lösen der Probleme investieren müsste.

Dann denke ich mir, dass deine Studenten diese Probleme sicher nie haben werden.

Aber nur wenige werden dies zu schätzen wissen.

Nur wenige werden in der Lage sein, es schätzen zu können.





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abschließend noch: Ich habe es sehr genossen, diesen für mich (geringes Vorwissen) verständlichen Artikel zu lesen. Ich empfinde eine gewisse Erfüllung, wenn ich deine Texte lesen darf. In nächster Zeit werde ich sicher weitere deiner Artikel durcharbeiten.\(\endgroup\)
 

Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: Martin_Infinite am: Di. 14. April 2015 22:21:19
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Der Vergissfunktor <math>\mathsf{CAlg}_{R} \to \mathsf{Alg}_R</math> von kommutativen <math>R</math>-Algebren nach <math>R</math>-Algebren ist so harlmos, dass er eigentlich durchgängig in der Notation ignoriert wird. Nun habe ich gehört, dass dies in der homotopischen Algebra Probleme macht, wo dann vermutlich <math>R</math> eine differentiell-graduierte Algebra ist und man entsprechend (graduiert-kommutative) differentiell-graduierte Algebren darüber betrachtet. Die Kategorien tragen dann Modellstrukturen, aber der Vergissfunktor erhältend keine kofasernden Objekte (weiß jemand ein Beispiel?). Das ist problematisch, weil man öfters kofasernde Ersetzungen benutzt. Man schreibt dann aber nicht hin, in welcher Kategorie genau, wobei man es vermutlich gerne in allen Kategorien hätte, dies aber nicht funktioniert.\(\endgroup\)
 

Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: Martin_Infinite am: Mo. 04. Mai 2015 16:22:01
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Wikipedia-Artikel zu "Topological ring" schreibt:
The group of units of [a topological ring] R may not be a topological group using the subspace topology, as inversion on the unit group need not be continuous with the subspace topology. (An example of this situation is the adele ring of a global field. Its unit group, called the idele group, is not a topological group in the subspace topology.) Embedding the unit group of R into the product R × R as (x,x−1) does make the unit group a topological group. (If inversion on the unit group is continuous in the subspace topology of R then the topology on the unit group viewed in R or in R × R as above are the same.)
 
In diesem Text werden dem Leser wie üblich implizit Vergissfunktoren untergejubelt (u.a. von der Kategorie der topologischen Ringe in die Kategorie der Ringe) und sie führen in diesem Fall sogar zu "falschen" Definitionen. Jede sinnvolle Definition der Einheitengruppe eines topologischen Ringes sollte selbstverständlich eine topologische Gruppe sein. Man darf halt nicht sofort an den unterliegenden Ring denken und dessen Einheitengruppe nehmen!
 
Allgemeiner: Die Einheitengruppe <math>M^{\times}</math> eines Monoidobjektes <math>M=(X,\mu,\eta)</math> (oder sogar Ringobjektes) in einer Kategorie <math>\mathcal{C}</math> mit endlichen Limites ist stets ein Gruppenobjekt zusammen mit einem Monomorphismus <math>M^{\times} \to M</math>. Das unterliegende Objekt von <math>M^{\times}</math> ist der Differenzkern der drei Morphismen <math>X \times X \to X</math>, die in Elementnotation durch <math>(a,b) \mapsto a b</math> bzw. <math>b a</math> bzw. <math>1</math> definiert sind (formal sind dies die Morphismen <math>\mu</math>, <math>\mu \circ \tau</math> und <math>\eta \circ \varepsilon</math>, wobei <math>\tau : X \times X \to X \times X</math> der Flip ist und <math>\varepsilon : X \times X \to 1</math> der eindeutige Morphismus in das finale Objekt ist). Man könnte also

<math>|M^{\times}| = \{(a,b) \in X \times X : ab=ba=1\}</math>

schreiben. Die Multiplikation ist <math>(a,b)(c,d) := (ac,db)</math>, die Eins ist <math>(1,1)</math>, die Inversion ist <math>(a,b)^{-1} = (b,a)</math>. Übrigens ist die Einheitengruppe ein Funktor <math>\mathsf{Mon}(\mathcal{C}) \to \mathsf{Grp}(\mathcal{C})</math>, welcher rechtsadjungiert zum Vergissfunktor ist.

Das kann man nun für <math>\mathcal{C}=\mathsf{Set}</math> genauso wie für <math>\mathcal{C}=\mathsf{Top}</math> (und natürlich viele weitere Kategorien, etwa die Kategorie der Schemata <math>\mathsf{Sch}</math>) anwenden.\(\endgroup\)
 

Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: Martin_Infinite am: Mi. 23. September 2015 12:01:28
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Das Buch, das Andreas Rüdinger in den Kommentaren vorgeschlagen hat, ist mittlerweile erschienen; es trägt den Titel "Einführung in die Kategorientheorie. Mit ausführlichen Erklärungen und zahlreichen Beispielen".\(\endgroup\)
 

Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: Martin_Infinite am: So. 06. März 2016 17:08:11
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Hier ein Beispiel, wo das Vergessen (erst in der Schrift, dann im Kopf) von Vergissfunktoren zu einem echten - aber zum Glück korrigierbaren - Fehler in einem Buch geführt hat; obwohl es sich um Professoren handelt, die sich mit algebraischer Topologie und Kategorientheorie eigentlich bestens auskennen:
 
Das viel zitierte Buch "Rings, Modules, and Algebras in Stable Homotopy Theory" (Link), üblicherweise wegen des Autorengespanns als "EKMM" bezeichnet, beweist in Kapitel 2, Lemma 6.1, dass die Komposition von zwei monadischen Funktoren wieder monadisch ist. Die Aussage ist aber falsch, siehe hier oder hier.
 
In Lemma 6.1 sind eine Monade <math>S</math> (gemeint ist natürlich <math>(S,\eta,\mu)</math>; hier fängt es mit dem Vergessen an) auf einer Kategorie <math>\mathcal{C}</math> und eine Monade <math>T</math> (gemeint ist <math>(T,\eta",\mu")</math>) auf der Modulkategorie <math>\mathcal{C}[S]</math> gegeben. Dann wird im Beweis von einem Funktor <math>TS</math> gesprochen, der schon syntaktisch keinen Sinn ergibt; gemeint ist <math>U \circ T  \circ \tilde{S}</math>, wobei <math>\tilde{S} : \mathcal{C} \to \mathcal{C}[S]</math> der freie <math>S</math>-Modul-Funktor ist und <math>U : \mathcal{C}[S] \to \mathcal{C}</math> der Vergissfunktor von <math>S</math>-Moduln nach <math>\mathcal{C}</math> ist. Die Autoren erklären das auch mit Worten, und sagen noch einmal deutlich, dass sie nicht zwischen <math>S</math> und <math>\tilde{S}</math> unterscheiden möchten und Vergissfunktoren nicht hinschreiben möchten. Das unterstützt wieder meine These nach langjähriger Erfahrung: Verkürzte Notation verkürzt gar nichts, sondern erfordert nur lange unnötige Erklärungen und sorgt für potentielle Verwirrungen. Es ist in jeglicher Hinsicht besser, es einfach richtig zu machen.

Es wird dann aber auch im weiteren Verlaufe des Beweises von der Notation her so getan, als ob <math>T</math> auf <math>\mathcal{C}</math> definiert wäre. Am Ende soll aus einer <math>TS</math>-Algebra <math>(Q,TSQ \to Q)</math> eine <math>T</math>-Algebra in <math>\mathcal{C}[S]</math> konstruiert werden mit den beiden Wirkungen <math>SQ \to TSQ \to Q</math> und <math>TQ \to TSQ \to Q</math>. Hier werden viele Vergissfunktoren unterschlagen, und das substantielle Problem ist nun, wie gesagt, dass <math>T</math> eigentlich gar keine Objekte von <math>\mathcal{C}</math> als Input hat, sondern Objekte von <math>\mathcal{C}[S]</math>. Man müsste also eigentlich einen Morphismus <math>T(Q,h) \to (Q,h)</math> konstruieren, wobei <math>h : SQ \to Q</math> wie oben, und dafür gibt es im Rahmen der gegebenen Daten gar keine Möglichkeit. Es sei denn, <math>T</math> erhält reflextive Koequalizer; dann gilt das ganze Resultat nämlich. Mehr dazu in den Errata (die ich eher per Zufall gefunden habe). Die Autoren haben dort immer noch nicht die notwendige Konsequenz gezogen, die Vergissfunktoren hinzuschreiben. Wenn sie das von vorneherein getan hätten, hätte kein solcher Fehler passieren können. Man kann wohl von Glück sprechen, dass die Anwendungen von Lemma 6.1 im Buch (laut Errata) immer nur Fälle betreffen, wo <math>T</math> reflexive Koequalizer erhält.\(\endgroup\)
 

Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: Kezer am: So. 26. Juli 2020 09:50:28
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Sehr schöner Artikel. Ich finde auch, dass man besser aufpassen sollte, Vergissfunktoren nicht zu vergessen.

Ebenso finde ich interessant zu sehen, wie es zu Deinem Buch kam. Das sollte hoffentlich mehr Leute anregen, Artikeln auf dem MP zu schreiben!\(\endgroup\)
 

Re: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden
von: easymathematics am: Di. 02. März 2021 18:30:46
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Interessanter Artikel. Danke hierfür!\(\endgroup\)
 

 
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